【分析】
要求BD的长度，已知BC的长，因此只需求出CD的长度即可。CD是圆A的弦，根据垂径定理，过圆心作弦的垂线可平分弦，因此过点A作AE⊥CD于E，可得DE=CE。此时图中有两个共享直角边AE的直角三角形Rt△ABE和Rt△ACE，可分别用勾股定理表示出AE²，建立方程求出BE的长度，进而求出CE、CD的长度，最终计算得到BD的长。
【解析】
如图，过点A作$AE ⊥ CD$，垂足为E。
根据垂径定理可得：$CE=DE=\frac{1}{2}CD$。
设$BE=x$，则$CE = BE + BC = x + 2$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 4^2 - x^2$；
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE^2 = AC^2 - CE^2 = 5^2 - (x+2)^2$。
联立两个等式可得：
$4^2 - x^2 = 5^2 - (x+2)^2$，
展开化简得：$16 - x^2 = 25 - x^2 -4x -4$，
即$16 = 21 -4x$，解得$x=\frac{5}{4}$，即$BE=\frac{5}{4}$。
因此$CE = \frac{5}{4} + 2 = \frac{13}{4}$，
$CD = 2CE = 2×\frac{13}{4} = \frac{13}{2}$，
所以$BD = CD - BC = \frac{13}{2} - 2 = \frac{9}{2}$。

【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；弦长计算
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题核心是通过作垂直于弦的辅助线，结合垂径定理和勾股定理，利用公共直角边建立等量关系列方程求解，熟练掌握这类辅助线的作法能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求不规则阴影部分的面积，优先使用割补法转化为规则图形的面积差求解。首先根据C是弧AB的中点，可得OC平分直角∠AOB，推出∠AOC=45°；再结合OA是半圆的直径，连接AD，利用直径所对圆周角为直角，可证△ADO是等腰直角三角形，得到弓形OD和弓形AD面积相等，即可将阴影面积转化为扇形AOC与△AOD的面积差，最后分别计算两个规则图形的面积作差即可。
【解析】
连接AD，
∵$∠ AOB=90°$，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$∠ BOC = ∠ AOC=45°$，
∵OA是半圆E的直径，
∴$∠ ADO = 90°$，
∴$∠ DAO = 90° - 45° = 45° = ∠ AOD$，
∴$OD = AD$，则$S_{弓形OD}=S_{弓形AD}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOC}-S_{△ AOD}$，
代入数值计算：
$S_{扇形AOC}=\frac{45×π×4^2}{360}=2π$，
等腰直角$△ AOD$中，$OD=AD=2\sqrt{2}$，
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
因此$S_{阴影}=2π-4$。
【答案】
$2π-4$
【知识点】
扇形面积计算，圆周角定理，割补法求面积
【点评】
本题是不规则阴影面积求解的典型题，解题核心是通过辅助线构造直角三角形，利用等面积弓形割补转化，将不规则面积转化为规则图形的面积差，要求熟练掌握扇形面积公式和圆周角相关性质。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先从已知条件拆解推导：①由$PA ⊥ PB$可知$△ APB$是直角三角形，$∠ APB=90°$；②由A、B关于原点对称可得O是AB的中点。结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可推导出$AB=2OP$，因此求AB的最大值可转化为求OP的最大值。接下来分析OP的最值：点P是$\odot M$上的动点，根据点到圆上点的距离最值规律，定点O到圆上动点P的最大距离为O到圆心M的距离加圆的半径，因此只需先用勾股定理计算OM的长度，再结合$\odot M$的半径即可求出OP的最大值，最终得到AB的最大值。
【解析】
如图，连接$OP$，
∵$PA ⊥ PB$，
∴$∠ APB=90°$，$△ APB$为直角三角形。
∵点A，点B关于原点O对称，
∴$OA=OB$，即O为Rt$△ APB$斜边AB的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$AB=2OP$，因此要使AB取最大值，只需OP取最大值。
连接$OM$并延长，交$\odot M$于点P，此时OP取得最大值。
过点M作$MQ ⊥ x$轴于点Q，
∵$M(6,8)$，
∴$OQ=6$，$MQ=8$，
在Rt$△ OMQ$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OQ^2+MQ^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵$\odot M$的半径为4，
∴OP的最大值为$OM+4=10+4=14$，
∴AB的最大值为$2 × 14=28$。

【答案】
28
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，点与圆的距离最值
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，核心是通过直角三角形斜边中线的性质将AB的最值转化为OP的最值，再结合点到圆上点的距离规律求解，对转化思想的应用有一定要求，能有效考察几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 三角形外接圆的圆心是三角形的外心，即三边垂直平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两边的垂直平分线，交点即为外接圆圆心O，再以O为圆心，O到顶点的距离为半径画圆即可得到所求外接圆。
(2) 求半径时，首先利用等腰三角形三线合一的性质，可得BC边上的高AD同时是BC的垂直平分线，先计算AD的长度；再设外接圆半径为r，用r表示出OD的长度，在Rt△OCD中利用勾股定理列方程求解即可得到半径值。
【解析】
(1) 作图结果如下图所示，⊙O即为所求。
(2) 连接OC，由作图可知AD垂直平分BC：
∵$AB=AC$，$AD⊥BC$，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
设外接圆半径$OA=OC=r$，则$OD=r-AD=r-6$，
在Rt△OCD中，根据勾股定理有$CD^2+OD^2=OC^2$，
代入数据得：$8^2+(r-6)^2=r^2$，
展开化简得：$64+r^2-12r+36=r^2$，即$100-12r=0$，
解得$r=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 如图，⊙O即为所求。
(2) 所作外接圆的半径为$\frac{25}{3}$。
【知识点】
尺规作三角形外接圆；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算相结合，既考查了三角形外心的定义与作图方法，又考查了等腰三角形三线合一性质和勾股定理的综合运用，属于几何基础常规题型，掌握外心在三角形各边的垂直平分线上是解题的关键。
【难度系数】
0.7