【分析】
(1) 要证明圆内两条弦AB=CD，根据圆中等弧对等弦的性质，只需证明两条弦对应的弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$即可。已知AC=BD，同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，两段弧同时减去公共的$\overset{\frown}{AD}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，从而得证。
(2) 题目已给出对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，已知AC=BD，因此只需算出BD的长度即可求面积。连接OB、OD，利用弧的度数等于对应圆心角的度数得到∠BOD=120°，再通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理算出BD的长度，代入面积公式计算即可。
(3) 猜测OM与AD的数量关系为AD=2OM，要证明2倍关系，结合垂径定理作OE⊥AD于E，可得AD=2AE，只需证明OM=AE即可。通过圆心角与圆周角的关系，结合AC⊥BD的条件推导角相等，证明△BOM和△OAE全等，即可得到OM=AE，从而得证。
【解析】
(1) 证明:
∵$AC=BD$,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴$\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AD}$,即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$,
∴$AB=CD$。
(2) 如图1,连接OB,OD,过O作$OH ⊥ BD$于H,
∵$\overset{\frown}{BD}$的度数为120°,
∴$∠BOD=120°$,
∵$OB=OD$,$OH ⊥ BD$,
∴$∠BOH=\frac{1}{2}∠BOD=60°$,$BD=2BH$,
∴$∠OBD=30°$,
∴$OH=\frac{1}{2}OB=4$,
∴$BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=4\sqrt{3}$,
∴$AC=BD=8\sqrt{3}$,
∴四边形ABCD的面积$=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}×8\sqrt{3}=96$。

(3) 猜测：$AD=2OM$。
证明:如图2,连接OB,OC,OA,OD,过O作$OE ⊥ AD$于E,
∵$OE ⊥ AD$,$OA=OD$,
∴$AE=DE=\frac{1}{2}AD$,
∵$OB=OC$,$OM ⊥ BC$,
∴$∠BOC=2∠BOM$,
∵$∠BOC=2∠BAC$,
∴$∠BOM=∠BAC$,
同理可得$∠AOE=∠ABD$,
∵$BD ⊥ AC$,
∴$∠BAC+∠ABD=90°$,
∴$∠BOM+∠AOE=90°$,
∵$∠BOM+∠OBM=90°$,
∴$∠OBM=∠AOE$,
在$△BOM$和$△OAE$中,$\begin{cases} ∠OMB=∠AEO=90°, \\ ∠OBM=∠AOE, \\ OB=OA, \end{cases}$
∴$△BOM≌△OAE$,
∴$OM=AE$,
∴$AD=2OM$。

【答案】
(1) $AB=CD$，证明见解析；
(2) 四边形ABCD的面积为$\boxed{96}$；
(3) $AD=2OM$，证明见解析。

【知识点】
圆的弦弧关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合类典型题，需要灵活运用圆中弧、弦、圆心角、圆周角的对应关系转化已知条件，结合垂径定理构造辅助线解决问题，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4