三、解答题(共50分)
11.(15分)若代数式$6x^n-(m-1)x+2$是关于$x$的三次二项式，求代数式$(m-n)^n$的值。
答案：11.解:由题意,得$n=3$且$-(m-1)=0$,解得$m=1$,
故$(m-n)^n=(1-3)^3=(-2)^3=-8.$
解析：
【分析】
解题时先抓住题目中“三次二项式”这个核心条件：①“三次”说明多项式的最高次项的次数为3，由此可确定n的值；②“二项式”说明多项式只有2项，观察原式可知常数项2一定存在，因此需要让一次项的系数为0，消去一次项，由此可求出m的值；最后将m、n的值代入代数式计算即可。
【解析】
解：
∵代数式$6x^n-(m-1)x+2$是关于$x$的三次二项式
∴最高次项次数为3，且多项式仅有2项
可得：$n=3$，且$-(m-1)=0$
解$-(m-1)=0$得$m=1$
将$m=1$，$n=3$代入$(m-n)^n$得：
$(1-3)^3=(-2)^3=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
1.多项式的项与次数
2.代数式求值
【点评】
本题重点考查多项式相关概念的应用，解题的关键是准确理解“几次几项式”的定义，根据定义列方程求出未知参数的值，注意满足二项式条件时，多余项的系数必须为0。
【难度系数】
0.8
12.(15分)根据下面$a,b$的值,求代数式$ab^2 - a^2b$的值:
(1)$a=4,b=2$;
(2)$a=-2,b=-3$.
答案：12.解:(1)因为$a=4,b=2$,所以$ab^2 -a^2b=4×2^2 -4^2×2=16-32=-16.$
(2)因为$a=-2,b=-3$,所以$ab^2 -a^2b=(-2)×(-3)^2 -(-2)^2×(-3)=-18+12=-6.$
解析：
【分析】
本题为代数式求值问题，解题思路如下：首先将每小问对应的a、b数值准确代入代数式，注意代入负数时要给负数加上括号，避免运算符号混淆；再按照有理数混合运算规则，遵循先乘方、再乘法、最后加减的顺序计算，计算过程中重点注意符号的判断。
【解析】
(1) 当$a=4$，$b=2$时：
$\begin{aligned}ab^2 -a^2b&=4×2^2 -4^2×2\\&=4×4 -16×2\\&=16-32\\&=-16\end{aligned}$
(2) 当$a=-2$，$b=-3$时：
$\begin{aligned}ab^2 -a^2b&=(-2)×(-3)^2 -(-2)^2×(-3)\\&=(-2)×9 -4×(-3)\\&=-18+12\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-16}$；(2) $\boldsymbol{-6}$
【知识点】
代数式求值，有理数混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查代数式代入求值的规范和有理数运算的准确性，代入负数参与乘方运算时需添加括号，运算时严格遵循运算顺序，注意符号判断，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.85
13.(20分)【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片,按如图方式拼成长方形:
第①个图形中有2张正方形纸片；
第②个图形中有$2(1+2)=2+4=6$(张)正方形纸片；
第③个图形中有$2(1+2+3)=2+4+6=12$(张)正方形纸片；
第④个图形中有$2(1+2+3+4)=2+4+6+8=20$(张)正方形纸片；
……
请你观察图形与算式,解决下列问题:
【规律归纳】
(1)第⑦个图形中有
56
张正方形纸片；
(2)根据上面的发现我们可以猜想:$2+4+6+\dots+2n=$
$n(n+1)$
;(用含$n$的代数式表示)
【规律应用】
(3)根据你的发现计算:①$2+4+6+\dots+2000$;②$202+204+206+\dots+600$.
答案：13.(1)56 (2)$n(n+1)$
(3)解:①原式$=1000×1001=1001000.$
②原式$=2+4+6+…+200+202+204+206+…+600-(2+4+6+…+200)=300×301-100×101=90300-10100=80200.$
解析：
【分析】
本题属于图形规律探究题，解题思路如下：首先观察给出的前4个图形的纸片数量和对应算式，可发现第n个图形的正方形纸片总数是前n个正偶数的和，且前n个正偶数的和等于n与(n+1)的乘积。(1)求第⑦个图形的纸片数，只需将n=7代入总结的规律计算即可；(2)直接根据规律写出通用代数式；(3)①中最后一项2000对应n=1000，代入公式计算；②可将所求式子转化为“2到600的偶数和”减去“2到200的偶数和”，分别套用公式计算后再相减即可。
【解析】
先观察已知算式总结规律：
第①个图形：$2=1×2$
第②个图形：$2+4=6=2×3$
第③个图形：$2+4+6=12=3×4$
第④个图形：$2+4+6+8=20=4×5$
归纳可得通用规律：$2+4+6+\dots+2n = n(n+1)$
(1) 第⑦个图形对应$n=7$，代入规律得：$7×(7+1)=7×8=56$
(2) 由上述规律直接得：$2+4+6+\dots+2n =n(n+1)$
(3) ①计算$2+4+6+\dots+2000$：
式中最后一项$2000=2×1000$，即$n=1000$，代入公式得：
原式$=1000×(1000+1)=1000×1001=1001000$
②计算$202+204+206+\dots+600$：
将式子转化为：$(2+4+6+\dots+600)-(2+4+6+\dots+200)$
计算$2+4+\dots+600$：$600=2×300$，即$n=300$，和为$300×301=90300$
计算$2+4+\dots+200$：$200=2×100$，即$n=100$，和为$100×101=10100$
因此原式$=90300-10100=80200$
【答案】
(1)$56$；(2)$n(n+1)$；(3)①$1001000$；②$80200$
【知识点】
规律探究，偶数求和，有理数巧算
【点评】
本题重点考查从特殊到一般的归纳推理能力，规律本身较易发现，难点在于第三问第二小问的式子转化，通过拆分算式套用已得规律，可大幅降低计算量，避免逐项累加的繁琐。
【难度系数】
0.7
