1.(2025·宿迁宿城新区期中)如图①,周长为16的长方形纸片剪成①,②,③,④号正方形和⑤号长方形,并将它们按图②的方式放入周长为40的长方形中,则没有覆盖的阴影部分的周长为
36
.
第1题图 第2题图
答案：36
解析：
【分析】
解决本题可按以下思路推导：第一步，设未知数表示各小图形的边长，设小正方形①的边长为$x$，正方形②的边长为$y$，依次推导出正方形③、④和长方形⑤的边长；第二步，结合图①的周长为16，通过整式化简求出$x+y$的整体值；第三步，利用平移法转化阴影部分的周长，发现阴影周长与图②大长方形周长、$x+y$的关系，代入计算即可得到结果。
【解析】
设正方形①的边长为$ x $，正方形②的边长为$ y $：
则正方形③的边长为$ x+y $，正方形④的边长为$ (x+y)+x = y+2x $，长方形⑤的长为$ y+3x $，宽为$ y-x $。
已知图①的长方形周长为16，根据长方形周长公式列方程：
$\begin{aligned}2×[(x+y + y+2x)+(x+y + y)]&=16\\2×(4x+4y)&=16\\8(x+y)&=16\\x+y&=2\end{aligned}$
将图②中阴影部分的边通过平移转化，可得阴影部分的周长 = 大长方形周长$-2(x+y)$，代入数据计算：
阴影周长$=40 - 2×2=36$
【答案】
36
【知识点】
列代数式，整式加减，平移法求周长
【点评】
本题结合图形剪拼考查整式的实际应用，解题关键是合理设元，利用整体代入思想和图形平移简化计算，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
2.(2025·宿迁沭阳县期中)把六张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为9 cm,宽为8 cm)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图②中两块阴影部分的周长和是
32
cm.
答案：32
解析：
【分析】
解题时我们可以先设小长方形的长为$x$ cm，宽为$y$ cm，不需要求出$x$、$y$的具体值：首先观察图形分别确定两块阴影长方形的长和宽，再根据长方形周长公式分别写出两块阴影的周长，相加后化简代数式，会发现未知数$x$、$y$刚好抵消，直接得到最终结果即可。
【解析】
解：设小长方形的长为$x$ cm，宽为$y$ cm。
观察图形可得：
1. 上方阴影长方形：右侧3个竖放小长方形总宽度为$3y$，因此阴影长为$(8-3y)$ cm，高等于小长方形的长$x$ cm，周长为$2[(8-3y)+x]$。
2. 右下方阴影长方形：左侧横放小长方形的长为$x$，因此阴影长为$(8-x)$ cm，高等于3个横放小长方形的总高度$3y$ cm，周长为$2[(8-x)+3y]$。
两块阴影的周长和为：
$\begin{aligned}&2[(8-3y)+x] + 2[(8-x)+3y]\\=&2(8-3y+x+8-x+3y)\\=&2×16\\=&32(\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{32}$
【知识点】
长方形周长计算、整式加减运算、数形结合
【点评】
本题不需要求出小长方形的具体长宽，核心是通过设未知数表示阴影边长，利用整式加减消去未知数得到结果，重点考查图形观察能力和代数式化简能力。
【难度系数】
0.6
3.如图，四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，边长分别为a和6，点D在边EC上.
(1)求阴影部分的面积;(用含a的整式表示)
(2)当$a=4$时，计算阴影部分的面积.
答案：(1)阴影部分的面积为
$a^{2}+6^{2}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}(a+6)×6=\frac{1}{2}a^{2}-3a+18.$
(2)当$a=4$时，
$\frac{1}{2}a^{2}-3a+18=\frac{1}{2}×4^{2}-3×4+18=8-12+18=14.$
解析：
【分析】
阴影部分是不规则图形，可采用“总面积减空白面积”的割补法求解：先求出两个正方形的总面积，再减去图中两个空白三角形的面积，即可得到阴影部分的面积表达式；第二问直接将a=4代入第一问得到的代数式中计算即可。
【解析】
(1) 先计算两个正方形的总面积：
正方形ABCD的面积为$a^2$，正方形ECGF的面积为$6^2$，总面积为$a^2+6^2$。
空白部分为两个三角形：
① 边长为a的正方形内的空白三角形面积是正方形面积的一半，即$\frac{1}{2}a^2$；
② 底为$(a+6)$、高为6的大空白三角形面积为$\frac{1}{2}×(a+6)×6$。
因此阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2+6^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}(a+6)×6\\&=\frac{1}{2}a^2+36-3a-18\\&=\frac{1}{2}a^2-3a+18\end{aligned}$
(2) 当$a=4$时，代入上述表达式计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{1}{2}×4^2-3×4+18\\&=8-12+18\\&=14\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}a^2-3a+18$；(2) $14$
【知识点】
列代数式，整式加减，代数式求值
【点评】
本题核心是用割补法转化不规则图形的面积计算，解题关键是准确识别图形各部分的构成，计算时注意整式化简和代入求值的运算规则即可。
【难度系数】
0.7
4.(2025·宿迁宿城新区期中)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠;在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠.设顾客预计累计购物x元(x＞300).
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用.
(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由.
答案：(1)顾客在甲超市购物所付的费用为 $300+0.8(x-300)=(0.8x+60)$元；
顾客在乙超市购物所付的费用为 $200+0.9(x-200)=(0.9x+20)$元.
(2)由 $0.9x+20=0.8x+60$,解得 $x=400.$
当 $x＜400$ 时,$0.9x+20＜0.8x+60$；
当 $x＞400$ 时,$0.9x+20＞0.8x+60.$
则当 $300＜x＜400$ 时,顾客在乙超市购物更优惠；
当 $x＞400$ 时,顾客在甲超市购物更优惠；
当 $x=400$ 时,顾客在两家超市所付的费用相同.
解析：
【分析】
（1）要表示两家超市的购物费用，需先明确两家的优惠规则：甲超市300元以内不优惠，超出300元的部分打八折，因此总费用为300元加上超出部分的八折金额；乙超市200元以内不优惠，超出200元的部分打九折，因此总费用为200元加上超出部分的九折金额，再将两个代数式化简即可。
（2）要比较哪家超市更优惠，本质是比较两个费用代数式的大小，先通过列方程求出两家费用相等时x的取值，以此为临界点，再分别讨论x大于、小于这个临界点时的费用大小关系，就能得出不同购物金额对应的更优惠的超市。
【解析】
（1）已知$x＞300$，
在甲超市购物：300元以内按原价，超出$(x-300)$元的部分按八折收费，
所以所需费用为：$300 + 0.8(x - 300) = 300 + 0.8x - 240 = 0.8x + 60$（元）；
在乙超市购物：200元以内按原价，超出$(x-200)$元的部分按九折收费，
所以所需费用为：$200 + 0.9(x - 200) = 200 + 0.9x - 180 = 0.9x + 20$（元）。
（2）分三种情况讨论：
① 当两家超市费用相等时，$0.8x + 60 = 0.9x + 20$，
移项得：$0.8x - 0.9x = 20 - 60$，
合并同类项得：$-0.1x = -40$，
解得：$x = 400$；
② 当乙超市更优惠时，即乙超市费用小于甲超市：$0.9x + 20 ＜ 0.8x + 60$，
解得$x ＜ 400$，结合$x＞300$，即$300 ＜ x ＜ 400$时，乙超市更优惠；
③ 当甲超市更优惠时，即甲超市费用小于乙超市：$0.9x + 20 ＞ 0.8x + 60$，
解得$x ＞ 400$，即$x ＞ 400$时，甲超市更优惠。
【答案】
(1) 甲超市购物所付费用为$(0.8x + 60)$元，乙超市购物所付费用为$(0.9x + 20)$元；
(2) 当$300 ＜ x ＜ 400$时，到乙超市购物更优惠；当$x = 400$时，两家超市购物费用相同；当$x ＞ 400$时，到甲超市购物更优惠。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；方案选择问题
【点评】
本题结合生活中的超市优惠场景命题，考查了代数式的化简、一元一次方程的求解以及分类讨论的思想，解题的核心是准确根据优惠规则列出费用代数式，再通过比较代数式大小得到不同情况下的最优方案。
【难度系数】
0.7
