2.(2025·淮安期末)综合与探究
【问题情境】一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除.例如,若一个两位数的十位、个位上的数字分别为$a,b$,则通常记这个两位数为$\overline{ab}$.于是$\overline{ab}=10a+b=9a+(a+b)$.显然$9a$能被3整除,因此,如果$a+b$能被3整除,那么$9a+(a+b)$就能被3整除,即$\overline{ab}$能被3整除.
【类比探究】(1)已知三位数$\overline{abc}$,用含$a,b,c$的代数式表示三位数$\overline{abc}=$
100a+10b+c
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【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除,只需看去掉这个数的末位数字后,所得到的数与此末位数字5倍的和能否被7整除,如果这个和能被7整除,则原数就能被7整除.例如,三位数$\overline{abc}$去掉末位数字$c$得两位数$\overline{ab}$,再用$\overline{ab}$加上$c$的5倍得到$\overline{ab}+5c$.若$\overline{ab}+5c$是7的倍数,则$\overline{abc}$能被7整除.
(2)请你说明“若$\overline{ab}+5c$是7的倍数,则$\overline{abc}$能被7整除”这个结论的道理.
