4. 一般情况下$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m+n}{2+4}$不成立，但有些数可以使得它成立，例如，$m=n=0$. 我们称使得$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m+n}{2+4}$成立的一对数$m,n$为“相伴数对”，记为$(m,n)$.
(1) 试说明$(1,-4)$是“相伴数对”；
(2) 若$(x,4)$是“相伴数对”，求$x$的值.
答案：解:(1)由题意可知$m=1,n=-4$,
所以$\frac{1}{2}+\frac{-4}{4}=-\frac{1}{2},\frac{1-4}{2+4}=-\frac{1}{2}$,
所以$(1,-4)$是“相伴数对”.
(2)由题意可知$\frac{x}{2}+\frac{4}{4}=\frac{x+4}{2+4}$,解得$x=-1$.
解析：
【分析】
第(1)问判断数对是否为“相伴数对”，核心是理解“相伴数对”的定义：若数对$(m,n)$满足$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m+n}{2+4}$，则为相伴数对。只需将$m=1,n=-4$分别代入等式左右两边计算，比较结果是否相等即可。第(2)问已知$(x,4)$是相伴数对，将$m=x,n=4$代入定义等式，得到关于$x$的一元一次方程，按解一元一次方程的步骤求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据“相伴数对”的定义，把$m=1,n=-4$代入等式两边计算：
左边：$\frac{1}{2}+\frac{-4}{4}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$
右边：$\frac{1+(-4)}{2+4}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$
左边=右边，满足“相伴数对”的成立条件，因此$(1,-4)$是“相伴数对”。
(2) 因为$(x,4)$是“相伴数对”，代入定义等式得：
$\frac{x}{2}+\frac{4}{4}=\frac{x+4}{2+4}$
化简得：$\frac{x}{2}+1=\frac{x+4}{6}$
去分母，两边同时乘6：$3x+6=x+4$
移项：$3x-x=4-6$
合并同类项：$2x=-2$
系数化为1：$x=-1$
【答案】
(1) $(1,-4)$是“相伴数对”；(2) $x=-1$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程求解，有理数混合运算
【点评】
本题结合新定义考查基础运算与方程求解能力，解题关键是读懂新定义的规则，准确代入数值列式计算或列方程，整体考查内容偏向基础。
【难度系数】
0.8
5. 我们规定,若关于x的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b-a$,则称该方程为“奇异方程”.例如,$2x=4$的解为$x=2=4-2$,则方程$2x=4$是“奇异方程”.请根据上述规定解答下列问题:
(1)判断方程$5x=-8$
不是
“奇异方程”.(填“是”或“不是”)
(2)若$a=3$,有符合要求的“奇异方程”吗?若有,求$b$的值;若没有,请说明理由.
答案：(1)不是
(2)解:因为$a=3$,所以$x=b-3$,所以$b-3=\frac{b}{3}$.
解得$b=\frac{9}{2}$,
所以当$a=3$时,有符合要求的“奇异方程”为$3x=\frac{9}{2}$,此时$b$的值为$\frac{9}{2}$.
解析：
【分析】
解题的核心是准确理解“奇异方程”的定义：若关于x的一元一次方程$ax=b$的解同时满足$x=b-a$，则该方程为奇异方程。(1)判断时先求出方程$5x=-8$的常规解，再计算$b-a$的值，对比两者是否相等即可判断；(2)当$a=3$时，先根据奇异方程定义得到解为$x=b-3$，同时一元一次方程$3x=b$的常规解为$x=\frac{b}{3}$，令两个解相等建立方程，求解即可判断是否存在符合要求的方程及$b$的值。
【解析】
(1) 解方程$5x=-8$，得$x=-\frac{8}{5}$。
根据“奇异方程”定义，此处$a=5$，$b=-8$，因此$b-a=-8-5=-13$。
因为$-\frac{8}{5}≠-13$，所以方程$5x=-8$不是奇异方程。
(2) 当$a=3$时，对应一元一次方程为$3x=b$。
若该方程为“奇异方程”，则它的解满足$x=b-a=b-3$，
同时一元一次方程$3x=b$的常规解为$x=\frac{b}{3}$，
因此可列等式：$b-3=\frac{b}{3}$，
等式两边同时乘3得：$3b-9=b$，
移项合并同类项得：$2b=9$，
解得$b=\frac{9}{2}$。
所以当$a=3$时，存在符合要求的“奇异方程”，此时$b$的值为$\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 不是
(2) 有，$b$的值为$\frac{9}{2}$
【知识点】
一元一次方程的解，新定义问题，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题关键是读懂新定义的规则，将新定义的特殊条件转化为常规的等量关系，结合一元一次方程的解法求解即可，侧重考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
6.(2025·宿迁沭阳县期末)定义:如果两个一元一次方程的解的绝对值相同,我们就称这两个方程互为“友好方程”.例如,方程$x+2=4$和$3x+6=0$互为“友好方程”.
(1)若关于$x$的方程$2x+m=1$与方程$5x+2=2x+14$互为“友好方程”,求$m$的值;
(2)若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10,其中一个解为$2n+1$,求$n$的值;
(3)若无论$m$取任何有理数,关于$x$的方程$\frac{2x+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$($a,b$为常数)与关于$y$的方程$y+1=2y-2$都互为“友好方程”,求$a+b$的值.
答案：解:(1)因为关于$x$的方程$2x+m=1$与方程$5x+2=2x+14$互为“友好方程”,
且方程$2x+m=1$的解为$x=\frac{1-m}{2}$,方程$5x+2=2x+14$的解为$x=4$,所以$\left|\frac{1-m}{2}\right|=|4|$,
所以$\frac{1-m}{2}=4$或$\frac{1-m}{2}=-4$,解得$m=-7$或$m=9$,
所以$m$的值为$-7$或$9$.
(2)因为互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10,
又互为“友好方程”的两个方程的两个解的绝对值相同,
所以互为“友好方程”的两个方程的两个解互为相反数,且一个为5,另一个为-5.
因为其中一个解为$2n+1$,
所以$2n+1=5$或$2n+1=-5$,解得$n=2$或$n=-3$.
综上所述,$n$的值为$2$或$-3$.
(3)解方程$y+1=2y-2$,得$y=3$.
因为关于$x$的方程$\frac{2x+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$($a,b$为常数)与关于$y$的方程$y+1=2y-2$互为“友好方程”,
所以当$x=-3$时,有$\frac{-6+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$,整理,得$(2a-6)m=3b+12$.
因为$m$取任何有理数,
所以$2a-6=0,3b+12=0$,解得$a=3,b=-4$,此时$a+b=-1$;
当$x=3$时,有$\frac{6+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$,整理,得$(2a-6)m=3b-12$,
因为$m$取任何有理数,
所以$2a-6=0,3b-12=0$,解得$a=3,b=4$,此时$a+b=7$.
综上所述,$a+b$的值为$-1$或$7$.
解析：
【分析】
本题围绕“友好方程”的新定义展开，解题核心是理解“两个一元一次方程的解的绝对值相同”这一规则，分小问思路如下：
(1) 先求解已知的一元一次方程$5x+2=2x+14$得到它的解，再表示出方程$2x+m=1$的解，根据“友好方程”的定义列绝对值方程，分类求解即可得到m的值；
(2) 互为“友好方程”的两个解绝对值相同，若两解差为10，说明两解不可能相等，只能互为相反数，由此可算出两个解分别为5和-5，再将已知解$2n+1$代入两种情况求解n；
(3) 先求解y的方程得到y=3，因此x的方程的解的绝对值为3，即x=3或x=-3，分别将x的两个取值代入x的方程，整理为关于m的等式，因为等式对任意有理数m都成立，所以m的系数和常数项需同时为0，即可求出a、b的值，最终计算a+b。
【解析】
(1) 先解方程$5x+2=2x+14$：
移项得$5x-2x=14-2$，合并同类项得$3x=12$，解得$x=4$。
方程$2x+m=1$移项得$2x=1-m$，解得$x=\frac{1-m}{2}$。
根据“友好方程”定义，$\left|\frac{1-m}{2}\right|=|4|$，即$\frac{1-m}{2}=4$或$\frac{1-m}{2}=-4$。
当$\frac{1-m}{2}=4$时，$1-m=8$，解得$m=-7$；
当$\frac{1-m}{2}=-4$时，$1-m=-8$，解得$m=9$。
故m的值为-7或9。
(2) 因为互为“友好方程”的两个解绝对值相同，且两解的差为10，所以两解互为相反数，设其中一个解为t，另一个为-t，则$t-(-t)=10$，解得$t=5$，即两个解为5和-5。
已知其中一个解为$2n+1$，则：
当$2n+1=5$时，$2n=4$，解得$n=2$；
当$2n+1=-5$时，$2n=-6$，解得$n=-3$。
故n的值为2或-3。
(3) 先解方程$y+1=2y-2$：
移项得$y-2y=-2-1$，合并同类项得$-y=-3$，解得$y=3$。
根据“友好方程”定义，x的方程的解满足$|x|=3$，即$x=3$或$x=-3$。
① 当$x=3$时，代入$\frac{2x+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$得：
$\frac{6+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$，两边同乘6去分母得$2(6+ma)=3b+6m$，整理得$12+2am=3b+6m$，移项得$(2a-6)m=3b-12$。
因为该式对任意有理数m都成立，所以$2a-6=0$且$3b-12=0$，解得$a=3$，$b=4$，此时$a+b=3+4=7$。
② 当$x=-3$时，代入$\frac{2x+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$得：
$\frac{-6+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$，两边同乘6去分母得$2(-6+ma)=3b+6m$，整理得$-12+2am=3b+6m$，移项得$(2a-6)m=3b+12$。
因为该式对任意有理数m都成立，所以$2a-6=0$且$3b+12=0$，解得$a=3$，$b=-4$，此时$a+b=3+(-4)=-1$。
综上，a+b的值为-1或7。
【答案】
(1)$m=-7$或$9$；(2)$n=2$或$-3$；(3)$a+b=-1$或$7$
【知识点】
一元一次方程求解，绝对值性质，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，将新定义规则与一元一次方程求解、绝对值运算、整式恒成立条件相结合，解题关键是准确理解新定义的内涵，注意分类讨论思想的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.6
