三、解答题(共96分)
19.(8分)(2025·宿迁期末)如图,在10×8的方格纸中,每个小正方形的顶点叫作格点.已知线段AB,AC,且点A,B,C均在格点上.仅用无刻度的直尺完成下列画图,再比较大小.
(1)画AB//CD;
(2)画AE⊥CD,垂足为E;
(3)比较大小:线段CE
＜
线段AC(填“＞”“=”或“＜”),理由是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中
垂线段最短
.
答案：19.(1)解:如答图所示,CD即为所求.
(2)解:如答图所示,AE即为所求.
(3)＜ 垂线段最短
第19题答图
20.(8分)已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大$20°$,求这个角的度数.
答案：20.解:设这个角的度数是$x°$,则其余角是$(90−x)°$,补角是$(180−x)°$.
根据题意,得$(180−x)−3(90−x)=20$,解得$x=55$.
答:这个角的度数为$55°$.
21.(8分)如图，AB//CD，∠CED=90°，∠BED=30°，求∠C的度数.
第21题图
答案：21.解:因为$∠CED=90°,∠BED=30°$,
所以$∠AEC=180°−∠BED−∠CED=60°$.
因为$AB//CD$,所以$∠C=∠AEC=60°$.
22.(8分)如图，直线AB与CD相交于点O，OF⊥OC，∠BOC：∠BOE=1：3，∠AOF=2∠COE.求∠COE的度数.
答案：22.解:设$∠BOC=x$.
因为$∠BOC:∠BOE=1:3$,所以$∠COE=2x$.
因为$∠AOF=2∠COE$,所以$∠AOF=4x$.
因为$OF⊥OC$,所以$∠DOF=90°$.
又因为$∠AOD=∠BOC$,
所以$∠BOC+∠AOF=90°$,即$5x=90°$,
解得$x=18°$,所以$∠COE=36°$.
23.(10分)已知线段AB=10 cm,直线AB上有一点C,且BC=4 cm,M是AC的中点,求线段AM的长.
答案：23.解:如答图①,当点C在线段AB的延长线上时,
因为$AB=10\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,
所以$AC=AB+BC=10+4=14(\mathrm{cm})$.
因为M是AC的中点,
所以$AM=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×14=7(\mathrm{cm})$.
如答图②,当点C在线段AB上时,
因为$AB=10\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,
所以$AC=AB−BC=10−4=6(\mathrm{cm})$.
因为M是AC的中点,
所以$AM=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$.
综上所述,线段AM的长为7 cm或3 cm.
第23题答图
24.(10分)(2025·宿迁宿城区期末)完成下面的证明:
已知:如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,FG⊥AC于点G,且∠1+∠2=180°.
求证:DE//BC.
证明:因为BD⊥AC,FG⊥AC(已知),
所以∠BDC=∠FGC=90°,
所以BD//FG(
同位角相等,两直线平行
),
所以∠2+∠DBC=180°(
两直线平行,同旁内角互补
).
又因为∠1+∠2=180°(已知),
所以∠1=
∠BDC
(
同角的补角相等
),
所以DE//BC(
内错角相等,两直线平行
).
答案：24.同位角相等,两直线平行
两直线平行,同旁内角互补
$∠BDC$ 同角的补角相等
内错角相等,两直线平行
