1.观察下列等式：$7^0=1,7^1=7,7^2=49,7^3=343,7^4=2401,7^5=16807,···,$根据其中的规律可得$7^0+7^1+7^2+···+7^{2025}$的结果的个位数字是 （
D
）
A.0
B.1
C.7
D.8
答案：1.D
解析：
【分析】
要计算这个式子结果的个位数字，不需要算出每一项的完整数值，只需要观察各7的幂次的个位数字规律即可：首先先归纳出$7^n$的个位数字的循环周期，再计算每个周期内所有项的和的个位数字，接着算出总项数包含多少个完整周期、余下几项，最后将余下项的个位数字相加就能得到总和的个位数字。
【解析】
1. 找$7^n$的个位数字规律：
观察已知等式可得：$7^0$个位是1，$7^1$个位是7，$7^2$个位是9，$7^3$个位是3，$7^4$个位是1，$7^5$个位是7……可知个位数字以1、7、9、3为一个周期循环，周期长度为4。
2. 计算单周期和的个位：
一个周期内4个项的个位和为$1+7+9+3=20$，即单个周期的和的个位数字为0。
3. 计算总项数：
从$7^0$到$7^{2025}$共有$2025 - 0 + 1 = 2026$项。
4. 计算周期数和余数：
$2026 ÷ 4 = 506$（个）……$2$（项），即包含506个完整周期，还剩2项，对应周期的前两个数字1和7。
5. 计算总和的个位：
506个完整周期的和的个位为0，加上剩余两项的个位得：$0 + 1 + 7 = 8$。
【答案】
D
【知识点】
乘方规律探究，周期循环计算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是避开复杂的大数运算，通过观察归纳出个位数字的循环规律，利用周期特性快速求解，能有效考察学生的观察归纳能力和灵活解题意识。
【难度系数】
0.7
2. 观察下列等式：$2^2 - 2^1 = 2^1$，$2^3 - 2^2 = 2^2$，$2^4 - 2^3 = 2^3$……
探究其中的规律，并解答下列问题：
(1)请直接写出第4个等式为
$2^5 - 2^4 = 2^4$
；第n个等式为
$2^{n+1} - 2^n = 2^n$
；
(2)计算：$2^1 - 2^2 - 2^3 - 2^4 - \dots - 2^{2023} + 2^{2024}$。
答案：(1)$2^5 - 2^4 = 2^4$；$2^{n+1} - 2^n = 2^n$
(2)解:原式=$(2^{2024} - 2^{2023}) - 2^{2022} - \dots - 2^2 + 2^1 = 2^{2023} - 2^{2022} - 2^{2021} - \dots - 2^2 + 2^1 = 2^2 + 2^1 = 4 + 2 = 6$。
解析：
【分析】
(1) 观察给出的前3个等式可发现规律：等式左边是相邻两个正整数指数的2的幂相减，较大的指数比较小的指数大1，等式右边等于指数较小的那个2的幂。按照这个规律就能写出第4个等式，再推广得到第n个通用等式。
(2) 借助(1)中得到的规律，将算式调整运算顺序从后往前计算，每一步都能把相邻两个大指数的乘方运算简化，逐步归约到最简的低次乘方，最后直接计算结果即可。
【解析】
(1) 已知前3个等式依次为：
第1个：$2^2 - 2^1 = 2^1$
第2个：$2^3 - 2^2 = 2^2$
第3个：$2^4 - 2^3 = 2^3$
按规律可得第4个等式为：$2^5 - 2^4 = 2^4$
推广到第n个等式为：$2^{n+1} - 2^n = 2^n$
(2) 计算$2^1 - 2^2 - 2^3 - 2^4 - \dots - 2^{2023} + 2^{2024}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2^{2024} - 2^{2023}) - 2^{2022} - \dots - 2^2 + 2^1 \\&=2^{2023} - 2^{2022} - \dots - 2^2 + 2^1 \\&=2^{2022} - 2^{2021} - \dots - 2^2 + 2^1 \\&\quad\vdots \\&=2^2 + 2^1 \\&=4 + 2 \\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1)$2^5 - 2^4 = 2^4$；$2^{n+1} - 2^n = 2^n$
(2)$6$
【知识点】
有理数乘方，数字规律探究，乘方简便运算
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力和乘方运算的灵活应用，解题关键是先从已知等式中提炼通用规律，再利用规律大幅简化复杂的高次乘方连减运算，掌握方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
3.相传,古印度舍罕王准备重赏大臣达依尔——国际象棋的发明人,就把他召进宫来,问他有什么要求,达依尔说:“陛下,请您在这张棋盘的第一格内赏我一粒麦子,在第二格内给两粒,在第三格内给四粒,照这样下去,以后每格内的小麦数都是前一格的2倍,一直放到第64格,这些小麦就是我要的奖赏.”国王一听,这点小麦算什么,就满口答应了.经过计算,国王傻了眼,原来这些小麦全国要几百年才能种植出来.你能计算出国王共需要赏多少粒小麦吗?
答案：解:设国王共需要赏S粒小麦,根据题意,得
$S=1+2+2^2+2^3+…+2^{63}$,①
则$2S=2+2^2+2^3+…+2^{64}$,②
②−①,得$S=2^{64}-1$.
答:国王共需要赏$(2^{64}-1)$粒小麦.
解析：
【分析】
首先梳理题目中的数量规律：第1格麦粒数为$1=2^0$，第2格为$2=2^1$，第3格为$4=2^2$，……，第64格麦粒数为$2^{63}$，因此总麦粒数是$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{63}$的和。直接逐项计算相加不现实，观察发现数列中每一项都是前一项的2倍，可采用错位相减法：给总和式子左右两边同时乘2得到新的求和式，两个式子相减后中间相同项可抵消，即可快速算出结果。
【解析】
解：设国王共需要赏$S$粒小麦，根据题意，得
$S=1+2+2^2+2^3+…+2^{63}$ ①
将①式左右两边同时乘2，得：
$2S=2+2^2+2^3+…+2^{64}$ ②
用②式减去①式，可得：
$2S - S = (2+2^2+2^3+…+2^{64}) - (1+2+2^2+2^3+…+2^{63})$
化简后得$S=2^{64}-1$
【答案】
国王共需要赏$(2^{64}-1)$粒小麦
【知识点】
有理数乘方；错位相减法；数字规律探究
【点评】
本题以经典的国际象棋麦粒典故为背景，结合乘方的意义考查数字规律类求和问题，解题关键是发现数列的倍数特征，灵活运用错位相减法简化运算，能很好地培养逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.4
