1. 对于任意$a$和$b$，如果满足$\frac{a}{3}+\frac{b}{4}=\frac{a+b}{3+4}+\frac{2}{3×4}$，那么我们称这一对数$a$，$b$为“友好数对”，记为$(a,b)$。若$(x,y)$是“友好数对”，则$2x-3[6x+(3y-4)]=$（
C
）
A.$-4$
B.$-3$
C.$-2$
D.$-1$
答案：1. C 点拨:因为(x,y)是“友好数对”,所以$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{x+y}{3+4}+\frac{2}{3×4}$,即$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{x+y}{7}+\frac{1}{6}$. 整理,得 16x+9y=14,所以$2x-3[6x+(3y-4)]=2x-18x-3(3y-4)=2x-18x-9y+12=-16x-9y+12=-(16x+9y)+12=-14+12=-2$.
2.用“⊕”和“⊙”定义两种新运算，对于任意的有理数$a,b$，都有$a\oplus b=a+2b$，$a\odot b=ab-2$。
(1)求$(1\oplus 2)\odot 3$的值；
(2)当$x$为有理数时，化简：$(x\oplus 2)-(x\odot 3)$。
答案：2. 解:(1)原式$=(1+2×2)\odot 3=5\odot 3=5×3-2=13$.
(2)因为$x\oplus 2=x+4,x\odot 3=3x-2$,
所以$(x\oplus 2)-(x\odot 3)=(x+4)-(3x-2)=x+4-3x+2=-2x+6$.
3.已知整式$P=x^2+x-1,Q=x^2-x+1,R=-x^2+x+1$,若一个次数不高于二次的整式可以表示为$aP+bQ+cR$(其中$a,b,c$为常数),则可以进行如下分类:
①若$a≠0,b=c=0$,则称该整式为“$P$类整式”;
②若$a≠0,b≠0,c=0$,则称该整式为“$PQ$类整式”;
③若$a≠0,b≠0,c≠0$,则称该整式为“$PQR$类整式”.
(1)模仿上面的分类方式,请给出$R$类整式和$QR$类整式的定义:若
a=0,b=0,c≠0
,则称该整式为“$R$类整式”;若
a=0,b≠0,c≠0
,则称该整式为“$QR$类整式”;
(2)说明整式$x^2-5x+5$为“$PQ$类整式”;
(3)$x^2+x+1$是哪一类整式?说明理由.
答案：3. (1)$a=0,b=0,c≠0$ $a=0,b≠0,c≠0$
(2)解:因为$-2P+3Q=-2(x^2+x-1)+3(x^2-x+1)=-2x^2-2x+2+3x^2-3x+3=x^2-5x+5$.
即$x^2-5x+5=-2P+3Q$,所以$x^2-5x+5$是“$PQ$类整式”.
(3)解:$x^2+x+1$是“$PQR$类整式”.理由如下:
因为$x^2+x+1=(x^2+x-1)+(x^2-x+1)+(-x^2+x+1)$,
所以该整式为“$PQR$类整式”.
