1. 对于任意$a$和$b$，如果满足$\frac{a}{3}+\frac{b}{4}=\frac{a+b}{3+4}+\frac{2}{3×4}$，那么我们称这一对数$a$，$b$为“友好数对”，记为$(a,b)$。若$(x,y)$是“友好数对”，则$2x-3[6x+(3y-4)]=$（
C
）
A.$-4$
B.$-3$
C.$-2$
D.$-1$
答案：1. C 点拨:因为(x,y)是“友好数对”,所以$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{x+y}{3+4}+\frac{2}{3×4}$,即$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{x+y}{7}+\frac{1}{6}$. 整理,得 16x+9y=14,所以$2x-3[6x+(3y-4)]=2x-18x-3(3y-4)=2x-18x-9y+12=-16x-9y+12=-(16x+9y)+12=-14+12=-2$.
解析：
【分析】
本题属于新定义类的整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步，先根据“友好数对”的定义，将$(x,y)$代入给定的等式，通过去分母、移项合并同类项，得到关于$x$、$y$的整式关系式；第二步，先将所求的代数式按照去括号、合并同类项的法则化简，观察化简后的式子与第一步得到的整式关系式的联系，用整体代入法计算即可求出结果，无需单独求出$x$、$y$的值。
【解析】
因为$(x,y)$是“友好数对”，根据定义可得：
$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{x+y}{3+4}+\frac{2}{3×4}$
整理得：$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{x+y}{7}+\frac{1}{6}$
给等式两边同时乘84（3、4、7、6的最小公倍数）去分母，得：
$28x + 21y = 12(x + y) + 14$
展开右边并移项合并同类项：
$28x + 21y = 12x + 12y + 14$
$28x - 12x + 21y - 12y = 14$
$16x + 9y = 14$
接下来化简所求代数式：
$2x-3[6x+(3y-4)]$
$=2x - 3(6x + 3y - 4)$
$=2x - 18x - 9y + 12$
$=-16x -9y +12$
$=-(16x + 9y) + 12$
将$16x + 9y = 14$整体代入，得：
原式$=-14 + 12 = -2$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，整式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题结合新定义考查整式的运算，解题的核心是正确理解新定义的规则，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则，灵活运用整体代入的思想简化计算，避免不必要的运算量。
【难度系数】
0.7
2.用“⊕”和“⊙”定义两种新运算，对于任意的有理数$a,b$，都有$a\oplus b=a+2b$，$a\odot b=ab-2$。
(1)求$(1\oplus 2)\odot 3$的值；
(2)当$x$为有理数时，化简：$(x\oplus 2)-(x\odot 3)$。
答案：2. 解:(1)原式$=(1+2×2)\odot 3=5\odot 3=5×3-2=13$.
(2)因为$x\oplus 2=x+4,x\odot 3=3x-2$,
所以$(x\oplus 2)-(x\odot 3)=(x+4)-(3x-2)=x+4-3x+2=-2x+6$.
解析：
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解两种新运算的规则，严格按照规则代入数值或字母计算。第(1)问遵循有括号先算括号内的运算顺序：先根据$a\oplus b=a+2b$的规则计算括号里的$1\oplus2$，再将所得结果作为新的$a$，与3按照$a\odot b=ab-2$的规则计算最终值；第(2)问先分别根据两种新运算的规则把$x\oplus2$和$x\odot3$展开成整式形式，再按照整式加减的法则，去括号、合并同类项完成化简，注意去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 先计算括号内的$1\oplus2$，根据$a\oplus b=a+2b$，代入$a=1,b=2$：
$1\oplus2=1+2×2=5$
再计算$5\odot3$，根据$a\odot b=ab-2$，代入$a=5,b=3$：
$5\odot3=5×3-2=13$
(2) 先分别展开两个新运算：
根据$a\oplus b=a+2b$，得$x\oplus2=x+2×2=x+4$
根据$a\odot b=ab-2$，得$x\odot3=3x-2$
再计算两者的差：
$(x\oplus2)-(x\odot3)=(x+4)-(3x-2)$
去括号得：$x+4-3x+2$
合并同类项得：$-2x+6$
【答案】
(1) $13$；(2) $-2x+6$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，去括号法则
【点评】
本题重点考查对新运算规则的应用能力，解题时只需严格套用给定的运算规则转化为常规的四则运算和整式加减即可，易错点是化简去括号时符号处理不当，掌握基础运算规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3.已知整式$P=x^2+x-1,Q=x^2-x+1,R=-x^2+x+1$,若一个次数不高于二次的整式可以表示为$aP+bQ+cR$(其中$a,b,c$为常数),则可以进行如下分类:
①若$a≠0,b=c=0$,则称该整式为“$P$类整式”;
②若$a≠0,b≠0,c=0$,则称该整式为“$PQ$类整式”;
③若$a≠0,b≠0,c≠0$,则称该整式为“$PQR$类整式”.
(1)模仿上面的分类方式,请给出$R$类整式和$QR$类整式的定义:若
a=0,b=0,c≠0
,则称该整式为“$R$类整式”;若
a=0,b≠0,c≠0
,则称该整式为“$QR$类整式”;
(2)说明整式$x^2-5x+5$为“$PQ$类整式”;
(3)$x^2+x+1$是哪一类整式?说明理由.
答案：3. (1)$a=0,b=0,c≠0$ $a=0,b≠0,c≠0$
(2)解:因为$-2P+3Q=-2(x^2+x-1)+3(x^2-x+1)=-2x^2-2x+2+3x^2-3x+3=x^2-5x+5$.
即$x^2-5x+5=-2P+3Q$,所以$x^2-5x+5$是“$PQ$类整式”.
(3)解:$x^2+x+1$是“$PQR$类整式”.理由如下:
因为$x^2+x+1=(x^2+x-1)+(x^2-x+1)+(-x^2+x+1)$,
所以该整式为“$PQR$类整式”.
解析：
【分析】
本题属于整式新定义题型，解题核心是先读懂题干给出的分类规则：所有符合要求的整式都可写成$aP+bQ+cR$的形式，分类依据是常数$a、b、c$是否为0。
(1) 模仿已知的“P类整式”“PQ类整式”的定义逻辑：单类整式就是仅对应字母的系数不为0，其余系数都为0；两类整式就是除了对应两个字母的系数不为0，剩下的系数为0，直接对应填写即可。
(2) 要证明整式是“PQ类整式”，需满足$c=0$且$a≠0、b≠0$，我们可以将$aP+bQ$展开，通过同类项系数匹配求出$a、b$的值，验证符合要求即可。
(3) 判断$x^2+x+1$的类别，先尝试将其表示为$aP+bQ+cR$的形式，展开后匹配同类项系数求出$a、b、c$的值，再根据三个系数是否为0对照分类规则判断即可。
【解析】
(1) 参照题干分类规则：
“R类整式”即仅R的系数非零，P、Q的系数均为0，故填$a=0,b=0,c≠0$；
“QR类整式”即P的系数为0，Q、R的系数均非零，故填$a=0,b≠0,c≠0$。
(2) 计算$-2P+3Q$：
$\begin{split}-2P+3Q&=-2(x^2+x-1)+3(x^2-x+1)\\&=-2x^2-2x+2+3x^2-3x+3\\&=x^2-5x+5\end{split}$
即$x^2-5x+5=-2P+3Q$，满足$a≠0,b≠0,c=0$的要求，因此$x^2-5x+5$是“PQ类整式”。
(3) $x^2+x+1$是“PQR类整式”，理由如下：
计算$P+Q+R$：
$\begin{split}P+Q+R&=(x^2+x-1)+(x^2-x+1)+(-x^2+x+1)\\&=x^2+x+1\end{split}$
即$x^2+x+1=P+Q+R$，满足$a≠0,b≠0,c≠0$的要求，因此该整式是“PQR类整式”。
【答案】
(1) $a=0,b=0,c≠0$；$a=0,b≠0,c≠0$
(2) 整式$x^2-5x+5$是“PQ类整式”
(3) $x^2+x+1$是“PQR类整式”
【知识点】
整式新定义、整式的加减、同类项匹配
【点评】
本题侧重考察新定义的理解迁移能力和整式加减的运算能力，解题关键是准确把握分类规则，通过运算或系数匹配找到对应的常数$a、b、c$，属于新定义类基础题型，灵活性较强。
【难度系数】
0.7
