1.若方程$\frac{1-2x}{6}+\frac{x+1}{3}=1-\frac{2x-1}{4}$与关于$x$的方程$x+\frac{6x-a}{3}=\frac{a}{6}-3x$的解相同，则$a$的值为（
D
）
A.10
B.12
C.16
D.18
答案：1.D
解析：
【分析】
本题是同解方程问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程，得到x的具体值；第二步因为两个方程解相同，将求出的x值代入含有参数a的方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。解题时要注意一元一次方程去分母时不要漏乘常数项，去括号注意符号变化。
【解析】
首先求解第一个方程$\frac{1-2x}{6}+\frac{x+1}{3}=1-\frac{2x-1}{4}$：
1. 去分母：方程两边同时乘12（分母6、3、4的最小公倍数），得
$2(1-2x) + 4(x+1) = 12 - 3(2x-1)$
2. 去括号：
$2 - 4x + 4x + 4 = 12 - 6x + 3$
3. 合并同类项：
左边合并得$6$，右边合并得$15 - 6x$，即$6 = 15 - 6x$
4. 移项、系数化为1：
$6x = 15 - 6$，$6x=9$，解得$x=\frac{3}{2}$
因为两个方程解相同，将$x=\frac{3}{2}$代入第二个方程$x+\frac{6x-a}{3}=\frac{a}{6}-3x$：
1. 代入得：$\frac{3}{2} + \frac{6×\frac{3}{2} - a}{3} = \frac{a}{6} - 3×\frac{3}{2}$
2. 化简得：$\frac{3}{2} + \frac{9 - a}{3} = \frac{a}{6} - \frac{9}{2}$
3. 去分母，两边同时乘6：
$9 + 2(9 - a) = a - 27$
4. 去括号、移项、合并同类项：
$9 + 18 - 2a = a - 27$
$27 + 27 = 3a$
$3a=54$，解得$a=18$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程的定义
【点评】
本题核心是利用同解方程的性质，先求不含参数方程的解再代入含参数方程求解，计算过程中要注意去分母时常数项也要乘最小公倍数，去括号时注意符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
2.已知关于$x$的方程$\frac{x+a}{18} - \frac{1-x}{12}=1$.
(1)若方程与关于$x$的方程$2[x - 2(x - \frac{a}{4})]=3x$有相同的解，则$a$的值是
13
；
(2)若方程的解是正整数，则正整数$a$的值是
2或7或12或17
.
答案：2.(1)13 点拨:解方程$\frac{x+a}{18}-\frac{1-x}{12}=1$,得$x=\frac{39-2a}{5}$;解方程$2[x-2(x-\frac{a}{4})]=3x$,得$x=\frac{a}{5}$.
因为它们是同解方程,所以$\frac{39-2a}{5}=\frac{a}{5}$,解得$a=13$.
(2)2或7或12或17 点拨:因为方程的解是正整数,所以$\frac{39-2a}{5}$是正整数.又因为$a$是正整数,所以当$a=2$时,$x=7$;当$a=7$时,$x=5$;当$a=12$时,$x=3$;当$a=17$时,$x=1$.
解析：
【分析】
(1)本题属于同解方程问题，解题思路为：先分别求解两个一元一次方程，用含a的代数式表示出两个方程的解，再根据“同解方程的解相等”列关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
(2)本题属于含参数的一元一次方程整数解问题，解题思路为：结合第一问得到的原方程的解$x=\frac{39-2a}{5}$，根据“解是正整数、a是正整数”的条件，可知分子$39-2a$是5的正整数倍，且$39-2a＞0$，据此列举符合条件的a的值即可。
【解析】
先求解方程$\frac{x+a}{18} - \frac{1-x}{12}=1$：
去分母（两边同乘36），得$2(x+a)-3(1-x)=36$
去括号，得$2x+2a -3 +3x=36$
合并同类项，得$5x +2a -3=36$
移项、系数化为1，得$x=\frac{39-2a}{5}$
---
(1)求解方程$2[x - 2(x - \frac{a}{4})]=3x$：
去小括号，得$2[x -2x +\frac{a}{2}]=3x$
合并中括号内的同类项，得$2(-x +\frac{a}{2})=3x$
去括号，得$-2x +a=3x$
移项、系数化为1，得$x=\frac{a}{5}$
因为两个方程解相同，所以$\frac{39-2a}{5}=\frac{a}{5}$
两边同乘5，得$39-2a=a$
解得$a=13$
---
(2)因为方程的解是正整数，且a是正整数，所以$\frac{39-2a}{5}$是正整数，即：
①$39-2a＞0$，解得$a＜19.5$；
②$39-2a$是5的正整数倍。
枚举符合条件的正整数a：
当$39-2a=35$时，$a=2$，此时$x=7$；
当$39-2a=25$时，$a=7$，此时$x=5$；
当$39-2a=15$时，$a=12$，此时$x=3$；
当$39-2a=5$时，$a=17$，此时$x=1$；
当$39-2a≤0$时，解不为正整数，不符合要求。
故正整数a的值为2或7或12或17。
【答案】
(1)$13$；(2)$2$或$7$或$12$或$17$
【知识点】
一元一次方程的解法，同解方程的性质，整数解问题求解
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法及参数类问题的处理思路，解题的核心是先准确用含参数的代数式表示出方程的解，再结合题目给出的限制条件列等式或不等式求解，处理整数解问题时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.6
3.定义:如果两个一元一次方程的解的和为10,我们就称这两个方程为“美满方程”.例如:方程$2x=4$和$y-8=0$为“美满方程”.
(1)若关于$x$的方程$2x-m=0$与方程$4y-2=y+10$是“美满方程”,则$m=$
12
;
(2)已知一对“美满方程”的两个解的差为$-2$,若其中一个解为$n$,求$n$的值;
(3)已知无论$m$取任何有理数,关于$x$的方程$\frac{3x+2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$($a,b$为常数)与方程$-y+1=2y+7$都是“美满方程”,求$a^b$的值.
答案：3.(1)12
(2)解:因为“美满方程”两个解的和为10,其中一个解为$n$,
所以另一个解为$10-n$.
因为一对“美满方程”的两个解的差为$-2$,
所以$n-(10-n)=-2$或$10-n-n=-2$,
解得$n=4$或$n=6$.
(3)解:解方程$-y+1=2y+7$,得$y=-2$,从而由“美满方程”的定义知方程$\frac{3x+2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$的解为$x=12$,于是$\frac{36+2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$,
化简,得$(6a+6)m=2b-108$.
因为$m$取任何有理数上式都成立,
所以$6a+6=0$且$2b-108=0$,解得$a=-1,b=54$,
所以$a^b=(-1)^{54}=1$.
解析：
【分析】
本题围绕“美满方程”的新定义展开考查一元一次方程的相关知识：
(1) 先求解方程$4y-2=y+10$得到y的解，再根据“美满方程”的解之和为10，算出关于x的方程的解，代入即可求m的值；
(2) 已知一个解为n，根据定义可得另一个解为$10-n$，两个解的差为-2，需分两种情况列方程，分类讨论求解n；
(3) 先求解方程$-y+1=2y+7$得到y的解，再根据定义求出x的解，将x代入含m的方程整理，由于等式对任意m都成立，因此m的系数和常数项均为0，据此求出a、b的值，再计算$a^b$即可。
【解析】
(1) 解方程$4y-2=y+10$：
移项得$4y-y=10+2$，即$3y=12$，解得$y=4$。
根据“美满方程”的定义，两个解的和为10，因此方程$2x-m=0$的解为$x=10-4=6$。
将$x=6$代入$2x-m=0$，得$2×6 - m=0$，解得$m=12$。
(2) 因为“美满方程”两个解的和为10，其中一个解为$n$，所以另一个解为$10-n$。
已知两个解的差为$-2$，分两种情况：
① $n-(10-n)=-2$，去括号得$n-10+n=-2$，合并同类项得$2n=8$，解得$n=4$；
② $(10-n)-n=-2$，去括号得$10-2n=-2$，移项得$2n=12$，解得$n=6$。
综上，$n$的值为4或6。
(3) 解方程$-y+1=2y+7$：
移项得$-y-2y=7-1$，即$-3y=6$，解得$y=-2$。
根据“美满方程”的定义，方程$\frac{3x+2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$的解为$x=10-(-2)=12$。
将$x=12$代入方程得：$\frac{3×12 + 2ma}{2}=\frac{b}{3}-m$，
化简得$18+ma=\frac{b}{3}-m$，两边同乘6消去分母得$108+6ma=2b-6m$，
移项整理得$(6a+6)m=2b-108$。
因为无论m取任何有理数上式都成立，所以m的系数和常数项均为0，即：
$\begin{cases}6a+6=0 \\ 2b-108=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1 \\ b=54\end{cases}$，
因此$a^b=(-1)^{54}=1$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) $\boxed{4}$或$\boxed{6}$；(3) $\boxed{1}$
【知识点】
一元一次方程求解，新定义问题，含参方程恒成立
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的应用，既考查对新定义的理解能力，也涉及分类讨论、转化的数学思想，第三问的恒成立问题是易错点，需掌握“等式对任意参数成立时，对应系数为0”的处理方法。
【难度系数】
0.6
