1. 方程$|2x - 1| + |x - 2| = |x + 1|$的解为 （
D
）
A.$x = 2$
B.$x = \frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2$
D.$\frac{1}{2} ≤ x ≤ 2$
答案：1.D 点拨:当$x＞2$时,原方程可化为$2x-1+x-2=x+1$,解得$x=2$(舍去);当$\frac{1}{2} ≤ x ≤ 2$时,原方程可化为$2x-1+2-x=x+1$,即$x+1=x+1$,可知在$\frac{1}{2} ≤ x ≤ 2$的范围内$x$取任何值都可以;当$-1 ≤ x＜\frac{1}{2}$时,原方程可化为$1-2x+2-x=x+1$,解得$x=\frac{1}{2}$(舍去);当$x＜-1$时,原方程可化为$1-2x+2-x=-x-1$,解得$x=2$(舍去).综上,原方程的解为$\frac{1}{2} ≤ x ≤ 2$.
解析：
【分析】
解含多个绝对值的方程，首先要找到使每个绝对值内代数式为0的x值（即零点），这些零点将数轴分成若干区间，再分区间讨论去掉绝对值符号，把原方程转化为普通的一元一次方程求解，最后要检验求出的解是否在对应区间内，不符合的要舍去，合并所有符合条件的解即可得到原方程的解。也可以结合选择题的特点，代入特殊值验证排除错误选项，快速得到答案。
【解析】
先确定绝对值的零点：令2x-1=0，得$x=\frac{1}{2}$；令x-2=0，得$x=2$；令x+1=0，得$x=-1$，三个零点将数轴分为4个区间，分情况讨论：
1. 当$x＞2$时，$2x-1＞0$，$x-2＞0$，$x+1＞0$，原方程去绝对值得：
$2x-1+x-2=x+1$，解得$x=2$，不在$x＞2$的范围内，舍去，此区间无解；
2. 当$\frac{1}{2} ≤ x ≤ 2$时，$2x-1≥0$，$x-2≤0$，$x+1＞0$，原方程去绝对值得：
$2x-1+2-x=x+1$，化简得$x+1=x+1$，为恒等式，即此区间内所有x都满足方程；
3. 当$-1 ≤ x＜\frac{1}{2}$时，$2x-1＜0$，$x-2＜0$，$x+1≥0$，原方程去绝对值得：
$1-2x+2-x=x+1$，解得$x=\frac{1}{2}$，不在$-1 ≤ x＜\frac{1}{2}$的范围内，舍去，此区间无解；
4. 当$x＜-1$时，$2x-1＜0$，$x-2＜0$，$x+1＜0$，原方程去绝对值得：
$1-2x+2-x=-x-1$，解得$x=2$，不在$x＜-1$的范围内，舍去，此区间无解。
综上，原方程的解为$\frac{1}{2} ≤ x ≤ 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；含绝对值的一元一次方程解法；分类讨论思想
【点评】
本题考查含绝对值的一元一次方程的求解，解题关键是掌握零点分段法去绝对值，分类讨论时需注意解的取值范围，避免出现增解，也可通过代入特殊值快速验证选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
2.解方程:$|2-x|-3|x+1|=x-9.$
答案：2.解:当$x＜-1$时,原方程可化为$2-x+3(x+1)=x-9$,解得$x=-14$;
当$-1 ≤ x＜2$时,原方程可化为$2-x-3(x+1)=x-9$,解得$x=\frac{8}{5}$;
当$x ≥ 2$时,原方程可化为$x-2-3(x+1)=x-9$,解得$x=\frac{4}{3}$(舍去).
综上,原方程的解为$x=-14$或$x=\frac{8}{5}$.
解析：
【分析】
要解含绝对值的一元一次方程，核心是先去掉绝对值符号。首先找到使绝对值内代数式等于0的x值（即零点）：令2-x=0得x=2，令x+1=0得x=-1，这两个点将数轴分为x＜-1、-1≤x＜2、x≥2三个区间，每个区间内绝对值内代数式的正负性固定，可去掉绝对值将原方程转化为普通一元一次方程求解，求出解后需验证是否属于对应区间，不符合的要舍去。
【解析】
采用零点分段法分情况讨论：
1. 当$x＜-1$时，$2-x＞0$，$x+1＜0$，因此$|2-x|=2-x$，$|x+1|=-(x+1)$，原方程化为：
$2-x+3(x+1)=x-9$
去括号得：$2-x+3x+3=x-9$
移项合并同类项得：$x=-14$
验证：$-14＜-1$，符合区间要求，是原方程的解。
2. 当$-1 ≤ x＜2$时，$2-x＞0$，$x+1≥0$，因此$|2-x|=2-x$，$|x+1|=x+1$，原方程化为：
$2-x-3(x+1)=x-9$
去括号得：$2-x-3x-3=x-9$
移项合并同类项得：$-5x=-8$
解得：$x=\frac{8}{5}$
验证：$-1≤\frac{8}{5}＜2$，符合区间要求，是原方程的解。
3. 当$x ≥ 2$时，$2-x≤0$，$x+1＞0$，因此$|2-x|=x-2$，$|x+1|=x+1$，原方程化为：
$x-2-3(x+1)=x-9$
去括号得：$x-2-3x-3=x-9$
移项合并同类项得：$-3x=-4$
解得：$x=\frac{4}{3}$
验证：$\frac{4}{3}＜2$，不符合$x≥2$的区间要求，舍去该解。
【答案】
$x=-14$或$x=\frac{8}{5}$
【知识点】
绝对值的性质；零点分段法；一元一次方程的解法
【点评】
本题是含绝对值的一元一次方程的典型题型，解题关键是通过零点分段法把含绝对值的方程转化为普通一元一次方程求解，需注意解必须匹配对应分段的取值范围，剔除不符合的增解，这是本题的主要易错点。
【难度系数】
0.6
3. 根据绝对值的定义，若$|x|=4$，则$x=4$或$x=-4$；若$|y|=a(a≥0)$，则$y=\pm a$. 我们可以根据这样的方法，解一些简单的绝对值方程，例如：$|2x+4|=5$.
解:方程$|2x+4|=5$可化为$2x+4=5$或$2x+4=-5$.
当$2x+4=5$时，$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$；
当$2x+4=-5$时，$2x=-9$，解得$x=-\frac{9}{2}$.
故方程$|2x+4|=5$的解为$x=\frac{1}{2}$或$x=-\frac{9}{2}$.
(1)解方程:$|3x-2|=4$；
(2)已知$|a+b+4|=16$，求$|a+b|$的值；
(3)在(2)的条件下，若$a,b$都是整数，则$ab$的最大值是
100
.
答案：3. (1)解:方程$|3x-2|=4$可化为$3x-2=4$或$3x-2=-4$,解得$x=2$或$x=-\frac{2}{3}$.
故方程$|3x-2|=4$的解为$x=2$或$x=-\frac{2}{3}$.
(2)解:已知$|a+b+4|=16$,则$a+b+4=16$或$a+b+4=-16$,解得$a+b=12$或$a+b=-20$.
所以$|a+b|$的值为12或20.
(3)100 点拨:由(2)可知,$a+b=12$或$a+b=-20$.
若$a,b$都是整数,根据有理数乘法法则可知,当$a=-10,b=-10$时,$ab$取得最大值,最大值为100.
解析：
【分析】
（1）解绝对值方程的核心是根据绝对值的性质去掉绝对值符号，将原方程转化为两个普通一元一次方程求解。对于$|3x-2|=4$，可得到$3x-2=4$和$3x-2=-4$两个方程，分别求解即可得到原方程的解。
（2）将$a+b$看作整体，先根据绝对值的性质求解$|a+b+4|=16$，得到$a+b$的两个可能取值，再分别计算二者的绝对值即可。
（3）已知$a+b$的两个取值，要使整数$a、b$的乘积最大，根据“同号得正，异号得负”的乘法法则，可知$a、b$同号时乘积为正，大于异号的乘积；再结合“两个数的和固定时，两数越接近，乘积越大”的规律，分别计算两种情况的最大乘积，比较后得到最大值。
【解析】
(1) 方程$|3x-2|=4$可化为：
$3x-2=4$ 或 $3x-2=-4$
当$3x-2=4$时，$3x=6$，解得$x=2$；
当$3x-2=-4$时，$3x=-2$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
故方程$|3x-2|=4$的解为$x=2$或$x=-\frac{2}{3}$。
(2) 已知$|a+b+4|=16$，可化为：
$a+b+4=16$ 或 $a+b+4=-16$
解得$a+b=12$ 或 $a+b=-20$。
当$a+b=12$时，$|a+b|=12$；当$a+b=-20$时，$|a+b|=20$。
所以$|a+b|$的值为12或20。
(3) 由(2)得$a+b=12$或$a+b=-20$，$a、b$均为整数：
① 当$a+b=12$时，$a、b$同号且最接近时，$a=b=6$，此时$ab=6×6=36$；
② 当$a+b=-20$时，$a、b$同号且最接近时，$a=b=-10$，此时$ab=(-10)×(-10)=100$。
因为$100＞36$，所以$ab$的最大值是100。
【答案】
(1) $x=2$或$x=-\frac{2}{3}$
(2) 12或20
(3) 100
【知识点】
绝对值的性质，含绝对值方程的解法，有理数乘法运算
【点评】
本题围绕绝对值的性质展开，考查含绝对值方程的解法及有理数乘法的最值应用，解题时需合理运用分类讨论思想，第三问需结合“和为定值时，两数越接近乘积越大”的规律求解，能有效考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
