1.如图,点O在直线AE上,OC平分∠AOE,OB平分∠AOC,OD平分∠COE,图中互余的角有x对,互补的角有y对,则x+y的值为 (
B
)
A.16
B.17
C.18
D.20
答案：1.B 点拨:因为点O在直线AE上,所以∠AOE=180°.因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=90°.同理,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=45°,所以∠AOB+∠BOC=90°,∠AOB+∠COD=90°,∠AOB+∠DOE=90°,∠BOC+∠COD=90°,∠BOC+∠DOE=90°,∠COD+∠DOE=90°,所以共有6对互余的角,从而x=6.易知∠AOD=∠BOE=135°,从而∠AOB,∠BOC,∠COD,∠DOE与这两个角中的任意一个角都互补,共有8对,又两个直角互补,得∠AOC,∠BOD,∠COE三个角中两两互补,共有3对互补的角,于是y=8+3=11,所以x+y=6+11=17.
解析：
【分析】
解题时首先结合平角的性质确定∠AOE的度数，再利用角平分线的定义求出图中所有角的度数，明确互余即两个角的和为90°、互补即两个角的和为180°，接下来有序分类计数互余、互补的角的对数，最后计算x+y的值即可。计数时要注意按类别统计，避免漏数或多数。
【解析】
∵ 点O在直线AE上，
∴ ∠AOE=180°。
∵ OC平分∠AOE，
∴ ∠AOC=∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOE=90°。
∵ OB平分∠AOC，OD平分∠COE，
∴ ∠AOB=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，∠COD=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠COE=45°，
即∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=45°。
先计算互余的角的对数$x$：
和为90°的两个角互余，任意两个45°的角之和为90°，共有：
∠AOB与∠BOC、∠AOB与∠COD、∠AOB与∠DOE、∠BOC与∠COD、∠BOC与∠DOE、∠COD与∠DOE，共6对，故$x=6$。
再计算互补的角的对数$y$：
和为180°的两个角互补，首先计算45°角与135°角的组合：
可得∠AOD=∠AOC+∠COD=135°，∠BOE=∠COE+∠BOC=135°，共2个135°的角，4个45°的角，每个45°角都能和这两个135°角互补，共$4×2=8$对；
其次是90°角之间的组合：∠AOC、∠COE、∠BOD（∠BOC+∠COD=90°）均为90°，任意两个90°角之和为180°，共有∠AOC与∠COE、∠AOC与∠BOD、∠COE与∠BOD，共3对；
故$y=8+3=11$。
因此$x+y=6+11=17$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，补角的定义
【点评】
本题解题的核心是先利用角平分线的性质求出各角的度数，再按照互余、互补的定义有序分类计数，计数时要注意不要遗漏角度相等的角的组合，避免出现多数或漏数的错误。
【难度系数】
0.6
2.若$∠ α$与$∠ β$互余，$∠ α$与$∠ \gamma$互补，$∠ β$与$∠ \gamma$的和等于周角的$\frac{1}{3}$，则$∠ α +∠ β +∠ \gamma=$
195°
.
答案：2. 195° 点拨:由题意,得∠α+∠β=90°,∠α+∠γ=180°,∠β+∠γ=120°,三式相加,得2∠α+2∠β+2∠γ=390°,故∠α+∠β+∠γ=195°.
解析：
【分析】
解题时首先将题目中的文字描述转化为角的数量关系式：互余的两个角和为90°，互补的两个角和为180°，周角的$\frac{1}{3}$为$360°×\frac{1}{3}=120°$，据此列出三个关于$∠α$、$∠β$、$∠γ$的等式。观察所求为三个角的总和，可直接将三个等式左右两边分别相加，左边刚好是2倍的三个角的和，再除以2即可得到结果，无需单独计算每个角的度数，简化运算过程。
【解析】
解：根据题意可得：
∵ $∠α$与$∠β$互余，
∴ $∠α + ∠β = 90°$ ①
∵ $∠α$与$∠γ$互补，
∴ $∠α + ∠γ = 180°$ ②
∵ $∠β$与$∠γ$的和等于周角的$\frac{1}{3}$，周角为$360°$，
∴ $∠β + ∠γ = 360° × \frac{1}{3} = 120°$ ③
将①+②+③，得：
$(∠α + ∠β) + (∠α + ∠γ) + (∠β + ∠γ) = 90° + 180° + 120°$
整理得：$2(∠α + ∠β + ∠γ) = 390°$
两边同时除以2，得：
$∠α + ∠β + ∠γ = 195°$
【答案】
$195°$
【知识点】
余角与补角的定义；角的和差运算
【点评】
本题重点考查余角、补角的基本概念，解题时可运用整体思想简化运算，无需单独求解每个角的度数，能有效提升学生对数量关系的整体分析能力。
【难度系数】
0.75
3.(2024·宿城期末)如图①,将一块直角三角尺的直角顶点O放置于直线MN上,其中∠AOB=90°,然后将三角尺AOB绕点O顺时针旋转,设∠AOM=α,从点O引射线OC和OD,OC平分∠BON,∠BOD=$\frac{1}{3}$∠MOB.
(1)如图②,当α=30°时,∠CON=
30
°;
(2)如图②,当0°＜α＜90°时,求∠COD的度数(用含α的代数式表示);
(3)如图③,当90°＜α＜180°时,请判断∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON的值是否为定值.若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
答案：3.(1)30
(2)解:当0°＜α＜90°时,
因为∠AOM=α,∠AOB=90°,
所以∠BON=∠MON-∠AOM-∠AOB=180°-α-90°=90°-α.
因为OC平分∠BON,所以∠BOC=$\frac{1}{2}$(90°-α).
因为∠MOB=∠MOA+∠AOB=90°+α,
所以∠BOD=$\frac{1}{3}$(90°+α),
所以∠COD=∠BOD+∠BOC=$\frac{1}{3}$(90°+α)+$\frac{1}{2}$(90°-α)=75°-$\frac{1}{6}$α.
(3)解:∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON的值是定值.当90°＜α＜180°时,
因为∠BOM=360°-90°-α=270°-α,
所以∠BOD=$\frac{1}{3}$∠BOM=$\frac{1}{3}$(270°-α)=90°-$\frac{1}{3}$α.
因为OC平分∠BON,∠BON=90°+α-180°=α-90°,
所以∠COB=$\frac{1}{2}$∠BON=$\frac{1}{2}$(α-90°)=$\frac{1}{2}$α-45°,
所以∠COD = ∠BOD + ∠COB = (90°−$\frac{1}{3}$α) + ($\frac{1}{2}$α−45°)=$\frac{1}{6}$α+45°.
所以∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON=($\frac{1}{6}$α+45°)−$\frac{1}{6}$(α−90°)=60°.
解析：
【分析】
本题是旋转背景下的角度计算问题，解题思路如下：(1)第一小问已知α=30°，先根据平角为180°、∠AOB=90°求出∠BON的度数，再结合OC平分∠BON，即可求出∠CON；(2)第二小问当0°＜α＜90°时，先分别用含α的代数式表示出∠BON、∠BOC，再表示出∠MOB进而得到∠BOD，最后根据∠COD=∠BOD+∠BOC化简即可；(3)第三小问当90°＜α＜180°时，先根据角的位置关系分别表示出∠BOM、∠BOD、∠BON、∠COB，再计算∠COD，最后代入∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON化简，判断结果是否为定值即可。
【解析】
(1) 当α=30°时，∠AOM=30°，∠AOB=90°，平角∠MON=180°，因此∠BON=180°-∠AOM-∠AOB=180°-30°-90°=60°，又因为OC平分∠BON，所以∠CON=$\frac{1}{2}$∠BON=30°。
(2) 当0°＜α＜90°时：
因为∠AOM=α，∠AOB=90°，
所以∠BON=∠MON-∠AOM-∠AOB=180°-α-90°=90°-α。
因为OC平分∠BON，所以∠BOC=$\frac{1}{2}$(90°-α)。
因为∠MOB=∠MOA+∠AOB=90°+α，
所以∠BOD=$\frac{1}{3}$(90°+α)，
所以∠COD=∠BOD+∠BOC=$\frac{1}{3}$(90°+α)+$\frac{1}{2}$(90°-α)=75°-$\frac{1}{6}$α。
(3) ∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON的值是定值，求解过程如下：
当90°＜α＜180°时，
因为∠BOM=360°-∠AOB-∠AOM=360°-90°-α=270°-α，
所以∠BOD=$\frac{1}{3}$∠BOM=$\frac{1}{3}$(270°-α)=90°-$\frac{1}{3}$α。
因为∠BON=∠AOM+∠AOB-∠MON=α+90°-180°=α-90°，OC平分∠BON，
所以∠COB=$\frac{1}{2}$∠BON=$\frac{1}{2}$(α-90°)=$\frac{1}{2}$α-45°，
所以∠COD = ∠BOD + ∠COB = (90°−$\frac{1}{3}$α) + ($\frac{1}{2}$α−45°)=$\frac{1}{6}$α+45°。
因此∠COD−$\frac{1}{6}$∠BON=($\frac{1}{6}$α+45°)−$\frac{1}{6}$(α−90°)=60°，为定值。
【答案】
(1)30；(2)$75°-\frac{1}{6}α$；(3)是定值，定值为60°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，旋转的性质
【点评】
本题属于旋转背景下的角度综合计算问题，解题的关键是结合图形理清不同旋转位置下各角的数量关系，计算时注意分α的取值范围讨论，避免因忽略角的位置变化导致计算错误。
【难度系数】
0.6
