8.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE相交于点O,AD与BC相交于点P,BE与CD相交于点Q,连接PQ.下列五个结论:①AD=BE;②PQ//AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.其中恒成立的有
①②③⑤
.(填序号)
答案：8.①②③⑤
9.如图,点D,E,F分别在等边三角形ABC的边AB,BC,CA上.若AD=BE=CF,试判断△DEF的形状,并证明.
答案：9.解:△DEF为等边三角形.证明如下:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°.
∵AD=BE=CF,
∴BD=CE=AF,
∴△ADF≌△BED≌△CFE,
∴DF=ED=EF,
∴△DEF为等边三角形.
10. $△ ABC$为等边三角形，$D$为射线$BC$上一点，$∠ ADE=60°$，$DE$与$△ ABC$的外角平分线交于点$E$.
(1)如图①，点$D$在$BC$边上，求证：$CA=CD+CE$；
(2)如图②，点$D$在$BC$的延长线上，请写出$CA$，$CD$，$CE$之间的数量关系，并说明理由.
答案：10.(1)证明:如答图①,在 AC 上截取 CM=CD,连接 DM.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴△CDM是等边三角形,
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°,
∴∠AMD=120°.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠MDC,
∴∠ADM=∠EDC.
∵DE与△ABC的外角平分线交于点E,
∴∠ACE=60°,
∴∠DCE=120°=∠AMD.
在△ADM和△EDC中,$\begin{cases} ∠ADM=∠EDC, \\ MD=CD, \\ ∠AMD=∠ECD, \end{cases}$
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AM=EC,
∴CA=CM+AM=CD+CE.
(2)解:CA=CE-CD.理由如下:
如答图②,在 AC 的延长线上截取 CM=CD,连接 DM.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠DCM=60°,
∴△CDM是等边三角形,
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°.
∵DE与△ABC的外角平分线交于点E,
∴∠ACE=∠DCE=60°,
∴∠ECD=∠AMD.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠CDM,
∴∠ADM=∠EDC.
在△ADM和△EDC中,$\begin{cases} ∠ADM=∠EDC, \\ MD=CD, \\ ∠AMD=∠ECD, \end{cases}$
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AM=EC,
∴CA=AM-CM=CE-CD.
11. 如图，$△ ABC$是等边三角形，D是$△ ABC$外一点，且$∠ BDC=120°$，试探究线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由。
答案：11.解:AD=BD+CD,理由如下:
延长BD至点E,使DE=DC,连接CE,如答图.
∵∠BDC=120°,
∴∠CDE=60°,
∴△CDE是等边三角形,
∴CD=CE,∠DCE=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
∵BE=BD+DE,
∴AD=BD+CD.
