1.【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？
【活动操作】小明用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^2+b^2=c^2$的过程；
(2)如果满足等式$a^2+b^2=c^2$的$a,b,c$是三个正整数,我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数且$m＞n$,求证:$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数；
【灵活运用】
(3)在如图所示的五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,则空白部分的面积为
48
；
(4)请写出任意一组含有85的“勾股数”:
85,3612,3613(答案不唯一)
；
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^2+4n+4$($n$为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数,则另外两个数的表达式分别是
$2n^2+4n$
,
$4n+4$
.
答案：1.(1)解:如答图所示
.
方法一:$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△ MFG}+S_{△ ANG}$
$=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab.$
方法二:$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ ABC}+S_{△ CEF}$
$=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^2+ab.$
$\therefore a^2+b^2+ab=c^2+ab,\therefore a^2+b^2=c^2.$
(2)证明:$\because (2mn)^2=4m^2n^2,(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2,\therefore (2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4+n^4-2m^2n^2=(m^2+n^2)^2.$
$\because m,n$是正整数且$m＞n,\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$都是正整数,$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数.
(3)48
(4)85,3612,3613(答案不唯一)
(5)$2n^2+4n$ $4n+4$
