10.如图,在长方形ABCD中,AB=6,AD=12,E为BC边上的动点,F为CD边的中点,连接AE,EF,则AE+EF的最小值为
15
.
答案：10.15
三、解答题(共50分)
11.(16分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=12$,$BC=9$.
(1)用尺规作AB边的垂直平分线DE,交AC于点E,交AB于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)求(1)中CE的长.
答案：11.解:(1)如答图,直线DE即为所求.
(2)如答图,连接BE.设$CE=x$,则$AE=BE=12-x$.
在$Rt△BEC$中,由勾股定理,得$BC^2+CE^2=BE^2$,
$x^2+9^2=(12-x)^2$,解得$x=\frac{21}{8}$,$\therefore CE=\frac{21}{8}$.
12.(16分)(2025·宿迁沭阳县期中)如图,校园内有一处池塘,数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A,B两点之间的距离,他们的操作过程如下:①沿AB延长线的方向,在池塘边的空地上选点C,使BC=6米;②在AC的一侧选点D,恰好使BD=8米,CD=10米;③测得AD=17米.请根据他们的操作过程,求出A,B两点间的距离.
答案：12.解:$\because BC=6$米,$BD=8$米,$CD=10$米,
$\therefore BC^2+BD^2=100=CD^2$,
$\therefore △BCD$是直角三角形,且$∠DBC=90°$,
$\therefore ∠ABD=90°$.
在$Rt△ABD$中,由勾股定理,得
$AB=\sqrt{AD^2-BD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$(米),
$\therefore A,B$两点间的距离为15米.
13.(18分)如图,在四边形ABCD中,$∠ BAD=∠ BCD=90°$.M,N分别是对角线BD,AC的中点.
(1)求证:$MN⊥ AC$;
(2)若$AC=6$,$MN=\sqrt{7}$,$BC=5$,求CD的长.
答案：13.(1)证明:如答图,连接AM,CM.
$\because ∠BAD=∠BCD=90°$,M是BD的中点,
$\therefore AM=CM=\frac{1}{2}BD$,$\therefore △AMC$是等腰三角形.
$\because N$是AC的中点,$\therefore MN⊥AC$.
(2)解:$\because N$是AC的中点,$\therefore CN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$.
由(1)得$MN⊥AC$,
在$Rt△CNM$中,由勾股定理,得$CM=\sqrt{CN^2+MN^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{7})^2}=4$.
由(1)得$CM=\frac{1}{2}BD$,$\therefore BD=2CM=2×4=8$.
在$Rt△BCD$中,由勾股定理,得$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}$.
