10.如图,在$△ ABC$中,D为AB的中点,$DE⊥ AB$,$∠ ACE+∠ BCE=180°$,$EF⊥ BC$交BC于点F,$AC=8$,$BC=12$,则BF的长为
10
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答案：10.10
三、解答题(共50分)
11.(15分)如图，在△ABC中，AC=21，BC=13，D是AC边上一点，BD=12，AD=16.
(1)求证:BD⊥AC;
(2)若E是边AB上的动点，求线段DE长度的最小值.
答案：11.(1)证明:$\because AC=21,AD=16,$
$\therefore CD=AC-AD=21-16=5.$
$\because BD^{2}+CD^{2}=12^{2}+5^{2}=169=BC^{2},$
$\therefore ∠ BDC=90^{\circ },\therefore BD\bot AC.$
(2)解:当$DE\bot AB$时,线段$DE$长度的值最小.
由(1)知$△ ABD$是直角三角形,
$\therefore AB=\sqrt {AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt {16^{2}+12^{2}}=20.$
又$\because \frac {1}{2}AD· DB=\frac {1}{2}AB· DE,$
$\therefore DE=\frac {AD· DB}{AB}=\frac {16×12}{20}=9.6,$
$\therefore$线段$DE$长度的最小值为9.6.
12.(15分)如图,在$△ ABC$中,AD是高,E,F分别是AB,AC的中点,AB=8,AC=6.
(1)求四边形AEDF的周长.
(2)EF与AD有怎样的位置关系?证明你的结论.
(3)四边形AEDF面积的最大值是
12
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答案：12.(1)解:在$△ ABC$中,$AD$是高,$E,F$分别是$AB,AC$的中点,$\therefore DE=\frac {1}{2}AB=AE,DF=\frac {1}{2}AC=AF.$
$\because AB=8,AC=6,\therefore$四边形$AEDF$的周长为$AE+DE+AF+DF=AB+AC=8+6=14.$
(2)解:$EF\bot AD$,理由如下:
$\because AE=DE,AF=DF,$
$\therefore$点$E,F$都在线段$AD$的垂直平分线上,
$\therefore$直线$EF$垂直平分线段$AD$,即$EF\bot AD.$
(3)12
13.(20分)如图,长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=10,OC=6.在AB上取一点M,使得△CBM沿CM翻折后,点B落在x轴上,记作点B'.
(1)点$B'$的坐标是
(8,0)
.
(2)求折痕CM所在直线的函数表达式.
(3)在x轴上是否存在一点P,使$△ B'CP$的面积为12?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案：13.(1)(8,0)
(2)解:设$AM=x$,则$BM=AB-AM=6-x.$
$\because OA=10,B'O=8,\therefore B'A=2.$
$\because △ CBM$沿$CM$翻折,$\therefore B'M=BM=6-x.$
在$\mathrm{Rt}△ AB'M$中,$B'A^{2}+AM^{2}=B'M^{2},$
$\therefore 2^{2}+x^{2}=(6-x)^{2}$,解得$x=\frac {8}{3},\therefore M(10,\frac {8}{3}).$
设折痕$CM$所在直线的函数表达式为$y=kx+b,$
将$(0,6),(10,\frac {8}{3})$代入,得$\begin{cases} 6=b, \\ \frac{8}{3}=10k+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\frac {1}{3}, \\ b=6, \end{cases}$
$\therefore$折痕$CM$所在直线的函数表达式为$y=-\frac {1}{3}x+6.$
(3)解:存在.$\because △ B'CP$的面积为12,
$\therefore \frac {1}{2}B'P· OC=12,\therefore \frac {1}{2}B'P×6=12,\therefore B'P=4.$
$\because B'(8,0),\therefore$点$P$的坐标为$(12,0)$或$(4,0).$
