三、解答题(共42分)
10.(12分)如图,直线$y=\frac{1}{2}x-2$与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线$y=\frac{1}{2}x-2$与直线$y=ax+b$(a,b为常数,且$a≠0$)关于x轴对称,直线$y=ax+b$与y轴交于点C.
(1)求直线$y=ax+b$的函数表达式.
(2)P是线段AC上一动点.当$△ ABP$的面积为6时,求点P的坐标.
答案：10.解:(1)对于 $y=\frac{1}{2}x-2$,令 $x=0$,则 $y=-2$,
$\therefore B(0,-2)$,令 $y=\frac{1}{2}x-2=0$,解得 $x=4$,$\therefore A(4,0)$.
$\because$ 直线 $y=\frac{1}{2}x-2$ 与直线 $y=ax+b$ 关于 $x$ 轴对称,
$\therefore$ 由题意可得点 $C(0,2)$. 把点 $A(4,0),C(0,2)$ 代入$y=ax+b$,得 $\begin{cases}4a+b=0,\\b=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$
所以直线 $y=ax+b$ 的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+2$.
(2)由(1)知:直线 $y=ax+b$ 的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+2$,设点 $P$ 的横坐标为 $m$,则 $P(m,-\frac{1}{2}m+2)$,由题意可得 $BC=4$,$OA=4$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· OA=8$,$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}× 4m=2m$,
$\therefore S_{△ ABP}=S_{△ ABC}-S_{△ BCP}=8-2m=6$,
解得 $m=1$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(1,\frac{3}{2})$.
11.(15分)如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.
(1)求证:△ABG≌△AFG;
(2)求BG的长;
(3)求△FEC的面积.
答案：11.(1)证明:$\because △ AFE$ 是由 $△ ADE$ 折叠得到的,
$\therefore AF=AD$,$∠ AFE=∠ AFG=∠ D=90°$.
又$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB=AD$,$∠ B=∠ D$,
$\therefore AB=AF$,$∠ B=∠ AFG=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 和 $\mathrm{Rt}△ AFG$ 中, $\begin{cases}AG=AG,\\AB=AF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABG≌\mathrm{Rt}△ AFG(\mathrm{HL})$.
(2)解:在正方形 $ABCD$ 中,$AB=6$,$CD=3DE$,
$\therefore EF=DE=\frac{1}{3}CD=2$,$CE=CD-DE=4$.
由(1)知$△ ABG≌△ AFG$,$\therefore BG=FG$.
设 $BG=FG=x$,则 $CG=6-x$,$EG=2+x$.
在 $\mathrm{Rt}△ ECG$ 中,根据勾股定理,得$(6-x)^2+4^2=(x+2)^2$,
解得 $x=3$,$\therefore BG=3$.
(3)解:由(2)知,$EF=2$,$BG=FG=3$,
$\therefore EG=EF+FG=5$,$CG=BC-BG=3$,
$\therefore S_{△ CEG}=\frac{1}{2}CG· CE=\frac{1}{2}× 3× 4=6$,
$\therefore S_{△ FEC}=\frac{2}{5}S_{△ CEG}=\frac{2}{5}× 6=\frac{12}{5}$.
12.(15分)一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各自终点后停止，两车之间的距离 y(km)与慢车行驶的时间 x(h)之间的关系如图所示.
(1)甲、乙两地之间的距离为
480
km；
(2)求快车和慢车的速度，并直接写出点 E 的坐标；
(3)求 AB,CD 所在直线对应的函数表达式；
(4)慢车出发多少小时后，两车相距 300 km？
答案：12.(1)480
(2)解:由题可知 $BC$ 段只有慢车在行驶,则慢车的速度为 $60÷(4-3)=60(\mathrm{km/h})$,$AB$ 段表示两车从开始到相遇的过程,则两车的速度和为 $480÷ 3=160(\mathrm{km/h})$,
$\therefore$ 快车的速度为 $160-60=100(\mathrm{km/h})$.
$\because$ 慢车到达终点所用的时间为 $480÷ 60=8(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(8,480)$.
(3)解:由题知,$CD$ 段表示快车修好开始行驶至终点,$(480-3× 100)÷ 100=1. 8(\mathrm{h})$,$1. 8× 160+60=348(\mathrm{km})$,$4+1. 8=5. 8(\mathrm{h})$,从而 $D(5. 8, 348)$,由题图知,$A(0,480)$,$B(3,0)$,$C(4,60)$.
设 $AB$ 所在直线的函数表达式为 $y=k_1x+480$,
则 $3k_1+480=0$,解得 $k_1=-160$,
$\therefore AB$ 所在直线的函数表达式为 $y=-160x+480$.
设 $CD$ 所在直线的函数表达式为 $y=k_2x+b$,则有
$\begin{cases}4k_2+b=60,\\5. 8k_2+b=348,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=160,\\b=-580,\end{cases}$
$\therefore CD$ 所在直线的函数表达式为 $y=160x-580$.
(4)解:由 $D(5. 8, 348)$ 知,两车相距 300 km 时在 $AB$ 段和 $CD$ 段. 把 $y=300$ 代入 $y=-160x+480$,解得 $x=1. 125$;把$y=300$ 代入 $y=160x-580$,解得 $x=5. 5$.
$\therefore$ 慢车出发 1. 125 h 或 5. 5 h 后,两车相距 300 km.
