12.(16分)定义:两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形称为“同根等腰三角形”,如图①,$OD=OE$,$OA=OB$,$O$为重合的顶角顶点且$∠DOE=∠AOB$,所以$△ ODE$与$△ OAB$是“同根等腰三角形”.
(1)将图①的$△ ODE$绕点$O$旋转,使点$D$在线段$BO$的延长线上,如图②,求证:$DE// AB$;
(2)如图③,$△ ODE$与$△ OAB$是“同根等腰三角形”,且$∠DOE=∠AOB=90°$,连接$AE$,$BD$,试探究$AE$和$BD$的位置关系,并说明理由;
(3)在图③中,连接$BE$,$AD$.若$OD=3$,$OA=5$,$∠BED=135°$,求$AD^2$的值.
答案：12.(1)证明:$∵$点D在线段BO的延长线上,
$∴B,O,D$三点共线.
由“同根等腰三角形”的定义知$∠AOB=∠DOE.$
又$∵OD=OE,OA=OB,∴∠D=∠E,∠A=∠B,$
$∵180°-∠DOE=180°-∠AOB,$
$∴2∠D=2∠B,即∠D=∠B,∴DE// AB.$
(2)解:$AE⊥BD$,理由如下:
设AE交OB于点F,交BD于点G,如答图①.
$∵∠DOE=∠AOB=90°,$
$∴∠DOE+∠BOE=∠AOB+∠BOE,$
即$∠BOD=∠AOE.$
在$△BOD$和$△AOE$中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠BOD=∠AOE, \\ OB=OA, \end{cases}$
$∴△BOD≌△AOE(SAS),∴∠OBD=∠OAE.$
$∵∠BFG=∠AFO,$
$∴180°-∠OBD-∠BFG=180°-∠OAE-∠AFO,$
即$∠BGF=∠AOF.$
$∵∠AOF=90°,∴AE⊥BD.$
(3)解:过点D作$DK⊥BE$,交BE的延长线于点K,如答图②.
$∵∠DOE=90°,OD=OE=3,∴∠DEO=45°,DE=3\sqrt{2}.$
$∵∠BED=135°,$
$∴∠BEO=∠BED-∠DEO=135°-45°=90°,$
$∠DEK=180°-∠BED=180°-135°=45°.$
$∵OA=OB=5,∴BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$
由$DK⊥BE,∠DEK=45°$,可得$△DEK$是等腰直角三角形,$∴DK=EK=3,$
$∴BK=EK+BE=3+4=7.$
在$\mathrm{Rt}△BDK$中,$BD=\sqrt{BK^2+DK^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$,由(2)知$△BOD≌△AOE,∴AE=BD=\sqrt{58}.$
设$GB=x$,则$GD=\sqrt{58}-x.$
由(1)知$∠EGB=90°=∠DGE,$
$∴BE^2-BG^2=GE^2=DE^2-GD^2,$
$∴16-x^2=(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{58}-x)^2,$
解得$x=\frac{14\sqrt{58}}{29},即GB=\frac{14\sqrt{58}}{29}.$
$∴GD=\sqrt{58}-x=\frac{15\sqrt{58}}{29},GE=\sqrt{BE^2-GB^2}=\sqrt{16-(\frac{14\sqrt{58}}{29})^2}=\frac{6\sqrt{58}}{29}.$
$∴GA=AE-GE=\sqrt{58}-\frac{6\sqrt{58}}{29}=\frac{23\sqrt{58}}{29}.$
在$\mathrm{Rt}△AGD$中,$AD^2=GD^2+GA^2=(\frac{15\sqrt{58}}{29})^2+(\frac{23\sqrt{58}}{29})^2=52,∴AD^2$的值是52.
