答案：1. C 点拨:① $\because ∠BAC=∠DAE=90°, ∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.$
$\because AB=AC,AD=AE,∴ △ABD≌△ACE(SAS),$
$∴ BD=CE,$故①正确,符合题意.
$\because △ABD≌△ACE,∴ ∠ABD=∠ACE.$
$\because ∠ABD+∠DBC=45°,∴ ∠ACE+∠DBC=45°.$
$\because ∠ACE=∠ABD,∠DBC＞∠ABD,$
$∴ ∠ACE+∠ABD≠45°,$故②错误,不符合题意.
$\because ∠ACE+∠DBC=∠ABC=45°,$
$∴ ∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,$
$∴ BD⊥CE,$故③正确,符合题意.
$\because BD⊥CE,∠ADE=45°,∴ ∠ADB=90°-45°=45°,$
$∴ ∠ADE=∠ADB,∴ DA 平分∠BDE,$故④正确,符合题意.综上,正确的结论有 3 个.

答案：
2. $\frac{9}{2}$ 点拔:如答图,连接 AC,BD 交于点 E,BD 交 OA 于点F. $\because △AOB$ 和$△COD$ 都是等腰直角三角形,$∠AOB=∠COD=90°,∴ OA=OB,OC=OD,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD$,即$∠AOC=∠BOD$. 在$△AOC$ 和
$△BOD$ 中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ OC=OD, \end{cases} ∴ △AOC≌△BOD(SAS),$
$∴ AC=BD,∠OBF=∠FAE. ∵ ∠BFO=∠AFE,$
$∴ ∠BOF=∠AEF=90°,∴ AC⊥BD,$
$∴ S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·BE+\frac{1}{2}AC·DE=$
$\frac{1}{2}AC(BE+DE)=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}AC^2. ∵ OA+OC⩾AC,∴ 当 AC=OA+OC=1+2=3$时,AC 取得最大值,此时$S_{四边形ABCD}$的值最大,
∴ 四边形 ABCD 面积的最大值为$\frac{1}{2}×3^2=\frac{9}{2}$.

答案：
3.(1)90
(2)解:①$α+β=180°$.
证明:$\because ∠BAD+∠DAC=α,∠DAC+∠CAE=α,$
$\therefore ∠BAD=∠CAE.$
在$△BAD$ 和$△CAE$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △BAD≌△CAE(SAS),∴ ∠B=∠ACE.$
$\because ∠B+∠ACB=180°-α,$
$\therefore ∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β,$
$\therefore α+β=180°.$
②补全图形,如答图所示.

α与β之间的数量关系为$α=β$.