答案：
1.C 点拨:如答图,延长FD至点A,使DA=DF,连接AB,AE.
∵∠EDF=90°,
∴∠ADE=180°-90°=90°.
又
∵DE=DE,DA=DF,
∴△EDA≌△EDF(SAS),
∴EF=EA.
∵D为BC边的中点,
∴BD=CD.
在△ADB和△FDC中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠FDC, \\ AD=FD, \end{cases}$
∴△ADB≌△FDC(SAS),
∴AB=FC.
在△ABE中,AB+BE＞AE,
∴BE+FC＞EF.

答案：
2.解:延长AD到点H,使DH=DE,连接CH,如答图.
∵在△ABC中,AD为BC边的中线，
∴CD=BD.在△CDH和△BDE中,
$\begin{cases} DH=DE, \\ ∠CDH=∠BDE, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴△CDH≌△BDE(SAS),
∴CH=BE,∠H=∠BED=∠AEF.
∵∠AEF=∠FAE,AC=6,CF=4,
∴∠H=∠FAE,EF=AF=AC-CF=6-4=2,
∴CH=BE=AC=6,
∴BF=BE+EF=6+2=8.

答案：
3.解:线段AD和线段EF的数量关系是$AD=\frac{1}{2}EF$,位置关系是$AD⊥EF$,证明如下:
延长AD到点N,使DN=DA,连接BN,延长DA交EF于点H,如答图所示.

则AN=DN+AD=2AD,
在△BDN和△CDA中,
$\begin{cases} BD=DC, \\ ∠BDN=∠CDA, \\ DN=DA, \end{cases}$
∴△BDN≌△CDA(SAS),
∴BN=AC,∠N=∠CAD.
∵AC=AF,
∴BN=AF.
∵∠BAE=∠CAF=90°,
∴∠BAC+∠EAF=180°.
∵∠N=∠CAD,
∴BN//AC,
∴∠BAC+∠ABN=180°,
∴∠ABN=∠EAF.
在△ABN和△EAF中,
$\begin{cases} AB=EA, \\ ∠ABN=∠EAF, \\ BN=AF, \end{cases}$
∴△ABN≌△EAF(SAS),
∴AN=EF,∠BAN=∠E,
∴2AD=EF,即$AD=\frac{1}{2}EF$.
∵∠BAE=90°,
∴∠BAN+∠EAH=90°,
∴∠E+∠EAH=90°.
在△AEH中,∠AHE=180°-(∠E+∠EAH)=90°,
∴AH⊥EF,即AD⊥EF,
故线段AD和线段EF的数量关系是$AD=\frac{1}{2}EF$,位置关系是$AD⊥EF$.