2026年启东中学作业本八年级数学上册苏科版宿迁专版第12页解析答案——零五网—

2. 当等腰三角形的腰与底边、顶角与底角、锐角与钝角不明时，往往需要分类讨论.
1. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$在边$AC$上，且$BC=BD=AD=DE$，$∠ CBE=18°$，则$∠ A$的度数为

24°

答案：1. 24° 点拨:设$∠ A=x,\because BC=BD=AD=DE,\therefore ∠ A=∠ ABD=x,∠ BDE=∠ C=2x,∠ DBE=∠ DEB=\frac{180°-2x}{2}=90°-x,\therefore ∠ DBC=180°-∠ BDC-∠ C=180°-2x-2x=180°-4x,$
$\therefore ∠ CBE=∠ DBC-∠ DBE=180°-4x-(90°-x)=180°-4x-90°+x=90°-3x.\because ∠ CBE=18°,$
$\therefore 90°-3x=18°,解得x=24°,\therefore ∠ A的度数为24°.$

2.在$△ ABC$中，$CA=CB$，$∠ ACB=150°$，将一块足够大的直角三角尺$PMN(∠ M=90°$，$∠ MPN=30°)$按如图所示放置，顶点$P$在线段$AB$上滑动，三角尺的直角边$PM$始终经过点$C$，并且与$CB$的夹角$∠ PCB=α$，斜边$PN$交$AC$于点$D$.在点$P$的滑动过程中，若$△ PCD$是等腰三角形，则夹角$α$的度数是________.

答案：2. 30°或75°或120° 点拨:在$△ PCD$中,$∠ PCD=150°-α,∠ CPD=30°$.①当$PC=PD$时,
$∠ PCD=∠ PDC=\frac{180°-30°}{2}=75°,即150°-α=75°,$
$\therefore α=75°;②当PD=CD时,∠ PCD=∠ CPD=30°,即150°-α=30°,\therefore α=120°;③当PC=CD时,∠ CDP=∠ CPD=30°,$
$\therefore ∠ PCD=180°-2×30°=120°,即150°-α=120°,$
$\therefore α=30°.$
综上所述,当$△ PCD$是等腰三角形时,$α$的度数为$30°$或$75°$或$120°.$

3. 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16 cm,BC=12 cm,AC=20 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1 cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)BP=

(16-t)cm

;(用含t的代数式表示)
(2)当点Q在边BC上运动时,出发

$\frac{16}{3}$

s时,△PQB是等腰三角形;
(3)当点Q在边CA上运动时,出发几秒时,△BCQ是等腰三角形?

答案：
$3. (1)(16-t)\mathrm{cm} (2)\frac{16}{3}$
(3)解:①当△ BCQ是以BC为底边的等腰三角形时,CQ=BQ,如答图①所示，

则$∠ C=∠ CBQ. \because ∠ ABC=90°,$
$\therefore ∠ CBQ+∠ ABQ=90°.$
$\because ∠ A+∠ C=90°,\therefore ∠ A=∠ ABQ,$
$\therefore BQ=AQ,\therefore CQ=AQ=10\ \mathrm{cm},$
$\therefore BC+CQ=22\ \mathrm{cm},\therefore t=22÷2=11(\mathrm{s}).$
②当△ BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时,CQ=BC,如答图②所示，
则$BC+CQ=24\ \mathrm{cm},\therefore t=24÷2=12(\mathrm{s}).$
③当△ BCQ是以CQ为底边的等腰三角形时,BQ=BC,如答图③所示,过点B作BD⊥ AC于点D,则CD=DQ.
$\because \frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BD,$
$\therefore \frac{1}{2}×16×12=\frac{1}{2}×20× BD,\therefore BD=\frac{48}{5}\ \mathrm{cm},$
$\therefore CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\frac{36}{5}\ \mathrm{cm},$
$\therefore CQ=2CD=\frac{72}{5}\ \mathrm{cm},BC+CQ=12+\frac{72}{5}=\frac{132}{5}(\mathrm{cm}),$
$\therefore t=\frac{132}{5}÷2=\frac{66}{5}(\mathrm{s}).$综上所述,出发11 s或12 s或$\frac{66}{5} s$时,△ BCQ是等腰三角形.