1.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ AB$交$BC$边于点$D$，若$∠ BAC=120°$，$AD=5$，则$BC$的长为（
C
）
A.7.5
B.10
C.15
D.20
答案：1.C
2.在等腰三角形ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=$\frac{1}{2}$BC，则等腰三角形ABC的顶角的度数为
30°或150°或90°
。
答案：2.30°或150°或90° 点拨:若 BC 为腰.
∵AD⊥BC于点D,AD=$\frac{1}{2}$BC,AC=BC,
在Rt△ADC中,AD=$\frac{1}{2}$AC,
∴∠ACD=30°.
如答图①,AD在△ABC的内部时,顶角∠C=30°;
如答图②,AD在△ABC的外部时,顶角∠ACB=180°-30°=150°.
若 BC 为底,如答图③.
∵AD⊥BC于点D,AD=$\frac{1}{2}$BC,
∴AD=BD=CD,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,
∴∠BAD+∠CAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°.
∴顶角∠BAC=90°.
综上所述,等腰三角形 ABC 的顶角度数为 30°或 150°或 90°.
3.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ A=30°,BC=2$.三角尺中$30°$角的顶点D在边AB上,两边分别与$△ ABC$的边AC,BC相交于点E,F,且DE始终与AB垂直.
(1)$△ BDF$是
等边
三角形.(填特殊三角形的名称)
(2)在平移三角尺的过程中,$AD-CF$的值是否发生变化?如果不变,求出$AD-CF$的值;如果发生变化,请说明理由.
(3)当平移三角尺使$EF// AB$时,求AD的长.
答案：3.(1)等边
(2)解:AD−CF 的值不变.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,
∴AB=2BC=4.
∵BF+CF=2,
∴BF=2−CF.
又
∵△BDF 是等边三角形,
∴BD=BF=2−CF,
∴AD=4−(2−CF)=2+CF,
∴AD−CF=2+CF−CF=2.
(3)解:
∵EF//AB,
∴∠CEF=∠A=30°,∠FED=∠ADE=90°,
∴在Rt△CEF中,CF=$\frac{1}{2}$EF.
∵在Rt△EFD中,∠EDF=30°,
∴EF=$\frac{1}{2}$DF,
∴CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{4}$DF.
∵DF=BF=BC−CF=2−CF,
∴CF=$\frac{1}{4}$(2−CF),解得 CF=$\frac{2}{5}$,
由(2)知 AD−CF=2,
∴AD=2+CF=2+$\frac{2}{5}$=$\frac{12}{5}$.
