24.（6分）亮点原创·定义一种新运算“f”：$f(a)$表示$a$在运算$f$作用下的结果，例如：$f(a)=a^2-(a-1)^2$，它对一些数的运算结果如下：$f(1)=1^2-(1-1)^2=1$，$f(2)=2^2-(2-1)^2=3$，$f(3)=3^2-(3-1)^2=5$，$···$.根据以上定义，解答下列问题：
（1）计算$f(30)$的值；
（2）计算$f(1)+f(2)+f(3)+···+f(40)$的值；
（3）计算$\frac{1}{f(1)×f(2)}+\frac{1}{f(2)×f(3)}+\frac{1}{f(3)×f(4)}+···+\frac{1}{f(2025)×f(2026)}$的值.
答案：(1) 由题意,得$f(30)=30^2-29^2=59$.
(2) 因为$f(1)=1=2×1-1,f(2)=3=2×2-1,f(3)=5=2×3-1,…,$所以依此类推,$f(n)=2n-1$,所以$f(1)+f(2)+f(3)+…+f(40)=1+3+5+…+79=\frac{1+79}{2}×40=1\ 600$.
(3) 因为$f(n)=2n-1$,所以$\frac{1}{f(1)×f(2)}+\frac{1}{f(2)×f(3)}+\frac{1}{f(3)×f(4)}+…+\frac{1}{f(2\ 025)×f(2\ 026)}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{4\ 049×4\ 051}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+…+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4\ 049}-\frac{1}{4\ 051})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{4\ 049}-\frac{1}{4\ 051})=\frac{2\ 025}{4\ 051}$.
25. (7分)(2026·江苏镇江期末)某商场将进货价为每盏30元的台灯以每盏40元的销售价售出,每月的销售量为600盏.市场调研表明:当每盏台灯的销售价每上涨1元时,其销售量将减少10盏.设每盏台灯的销售价上涨a元.
(1) 试用含a的代数式填空:
① 涨价后,每盏台灯的销售价为
$(40+a)$
元;
② 涨价后,每盏台灯的利润为
$(10+a)$
元;
③ 涨价后,这种台灯每月的销售量为
$(600-10a)$
盏;
(2) 该商场想要销售这种台灯每月的利润达到10 000元,商场经理甲说:“在原销售价每盏40元的基础上再上涨40元,可以完成任务.”商场经理乙说:“不用涨那么多,在原销售价每盏40元的基础上再上涨10元就可以了.”试判断经理甲与乙的说法是否正确,并说明理由.
答案：(1) ① $(40+a)$ ② $(10+a)$ ③ $(600-10a)$
(2) 经理甲与乙的说法都正确.理由如下:由题意,得销售这种台灯每月的利润为$(10+a)(600-10a)$元.当$a=40$时,每月的利润为$(10+40)×(600-10×40)=10\ 000$(元);当$a=10$时,每月的利润为$(10+10)×(600-10×10)=10\ 000$(元).故经理甲与乙的说法都正确.
