25. (7分)新趋势 推导探究 如图，线段$AB=10$，动点$P$从点$A$出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段$AB$向终点$B$运动，同时，另一个动点$Q$从点$B$出发，以每秒3个单位长度的速度在线段$AB$上来回运动(从点$B$向点$A$运动，到达点$A$后，立即原速返回，回到点$B$后立即调头向点$A$运动)。当点$P$到达点$B$时，$P$，$Q$两点都停止运动。设运动的时间为$x$ s.(点$Q$调头的时间忽略不计)
(1) 当$x=3$时，线段$PQ$的长为
2
；
(2) 当$P$，$Q$两点第一次相遇时，求线段$BQ$的长；
(3) 是否存在某一时刻，使点$Q$恰好落在线段$AP$的中点处？若存在，请求出所有满足条件的$x$的值；若不存在，请说明理由。
答案：25. (1) 2 解析:当$x=3$时,P,Q两点的位置如图所示：
此时$AP=1×3=3,BQ=3×3=9$.因为$AB=10$,所以$AQ=AB-BQ=1$,所以$PQ=AP-AQ=2$.
(2) 当P,Q两点第一次相遇时,$x+3x=10$,解得$x=2.5$,则$3x=7.5$.故当P,Q两点第一次相遇时,线段$BQ$的长为7.5.
(3) 由题意,得当点$P$到达点$B$时,$x=10÷1=10$,所以$0≤ x≤10$.当点$Q$恰好落在线段$AP$的中点处时,分类讨论如下:① 当点$Q$从点$B$出发未到点$A$时,有$x=2(10-3x)$,解得$x=\frac{20}{7}$;② 当点$Q$到达点$A$后,从点$A$返回点$B$时,有$x=2(3x-10)$,解得$x=4$;③ 当点$Q$第一次返回到点$B$后,从点$B$向点$A$运动时,有$x=2(10×3-3x)$,解得$x=\frac{60}{7}$.综上所述,存在满足条件的$x$,且所有$x$的值为$\frac{20}{7}$,$4$,$\frac{60}{7}$.
