定义:若A,B,C为数轴上三点,且点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍,则我们称点C是[A,B]的“美好点”.
例如:如图①,点A表示的数为-1,点B表示的数为2,表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是[A,B]的“美好点”;又例如:表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是[A,B]的“美好点”,但点D是[B,A]的“美好点”.
如图②,M,N为数轴上两点,点M表示的数为-7,点N表示的数为2.
(1) 点E,F,G表示的数分别为-3,6.5,11,其中是[M,N]的“美好点”的为点
G
;[N,M]的“美好点”H表示的数为
-4或-16
;
(2) 现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动,设运动的时间为t s,则当t为何值时,点P,M,N中恰有一个点是其余两点的“美好点”?
答案：(1) G -4或-16 解析:设$[M,N]$的“美好点”表示的数为$s$. 由题意,得$|s+7|=2|s-2|$,所以$s=11$或$-1$,所以$[M,N]$的“美好点”是G. 设$[N,M]$的“美好点”表示的数为$h$. 由题意,得$|h-2|=2|h+7|$,所以$h=-4$或$-16$. 故$[N,M]$的“美好点”$H$表示的数为$-4$或$-16$.
(2) 由题意,得点$P$表示的数为$2-2t$. 分类讨论如下:
① 当点$P$是$[M,N]$的“美好点”时,$|2-2t+7|=2|2-2t-2|$,即$|2t-9|=2|2t|$,所以$t=1.5$(负值舍去);
② 当点$P$是$[N,M]$的“美好点”时,$|2-2t-2|=2|2-2t+7|$,即$|t|=|2t-9|$,所以$t=3$或$t=9$;
③ 当点$M$是$[P,N]$的“美好点”时,$|2-2t+7|=2× (2+7)$,即$|2t-9|=18$,所以$t=13.5$(负值舍去);
④ 当点$M$是$[N,P]$的“美好点”时,$2+7=2|2-2t+7|$,即$2|2t-9|=9$,所以$t=6.75$或$t=2.25$;
⑤ 当点$N$是$[P,M]$的“美好点”时,$|2-2t-2|=2× (2+7)$,即$|2t|=18$,所以$t=9$(负值舍去);
⑥ 当点$N$是$[M,P]$的“美好点”时,$2+7=2|2-2t-2|$,即$|2t|=4.5$,所以$t=2.25$(负值舍去).
综上所述,$t$的值为$1.5$或$2.25$或$3$或$6.75$或$9$或$13.5$.
解析：
【分析】
首先明确“美好点”的定义：若点C是[A,B]的“美好点”，则点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍，数轴上两点的距离可通过两点对应数的差的绝对值计算。
(1) 求[M,N]的“美好点”，即寻找满足到M(-7)的距离是到N(2)距离2倍的点，设对应数为s，列绝对值方程求解后对比E、F、G的数即可；求[N,M]的“美好点”H，即满足到N的距离是到M距离的2倍，列对应绝对值方程求解即可。
(2) 先表示出运动t秒后点P对应的数为2-2t，再分类讨论：三个点中任意一个点都可能作为其余两点的“美好点”，且每个点对应两种“美好点”的顺序，共6种情况，分别列绝对值方程求解，舍去时间t为负的不符合实际的解，汇总所有符合条件的t值即可。
【解析】
(1) 设[M,N]的“美好点”表示的数为$s$，由题意得：
$|s+7|=2|s-2|$
解得$s=11$或$s=-1$，对比E(-3)、F(6.5)、G(11)，可知是[M,N]的“美好点”的为点G。
设[N,M]的“美好点”H表示的数为$h$，由题意得：
$|h-2|=2|h+7|$
解得$h=-4$或$h=-16$。
(2) 由题意得，运动t秒后点P表示的数为$2-2t$，分类讨论如下：
① 当点P是$[M,N]$的“美好点”时：
$|2-2t+7|=2|2-2t-2|$，即$|2t-9|=4t$
解得$t=1.5$（负值舍去）；
② 当点P是$[N,M]$的“美好点”时：
$|2-2t-2|=2|2-2t+7|$，即$|t|=|2t-9|$
解得$t=3$或$t=9$；
③ 当点M是$[P,N]$的“美好点”时：
$|-7-(2-2t)|=2×|2-(-7)|$，即$|2t-9|=18$
解得$t=13.5$（负值舍去）；
④ 当点M是$[N,P]$的“美好点”时：
$|2-(-7)|=2×|-7-(2-2t)|$，即$2|2t-9|=9$
解得$t=6.75$或$t=2.25$；
⑤ 当点N是$[P,M]$的“美好点”时：
$|2-(2-2t)|=2×|2-(-7)|$，即$|2t|=18$
解得$t=9$（负值舍去）；
⑥ 当点N是$[M,P]$的“美好点”时：
$|2-(-7)|=2×|2-(2-2t)|$，即$|2t|=4.5$
解得$t=2.25$（负值舍去）。
综上，所有符合条件的t值汇总即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{G}$；$\boldsymbol{-4}$或$\boldsymbol{-16}$
(2) $t$的值为$\boldsymbol{1.5}$或$\boldsymbol{2.25}$或$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{6.75}$或$\boldsymbol{9}$或$\boldsymbol{13.5}$
【知识点】
数轴上两点距离，绝对值方程应用，新定义问题
【点评】
本题以新定义“美好点”为背景，考查数轴与绝对值方程的综合应用，解题核心是准确把握“美好点”对应的距离数量关系，分类讨论时要做到不重不漏，同时注意运动时间为非负数的隐含条件。
【难度系数】
0.3
