典例②【阅读材料】我们知道 $4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$。类似地，我们把 $a + b$ 看成一个整体，则 $4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$。“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
【尝试应用】
（1）把 $(a - b)^2$ 看成一个整体，合并 $-3(a - b)^2 + 5(a - b)^2 + 2(a - b)^2$ 的结果是 ______；
（2）已知 $x^2 - 3y = -2$，求代数式 $-2x^2 + 6y + 5$ 的值；
（3）若 $2a - b = -5$，$d - b = 3$，求代数式 $2a - d$ 的值。
【思路点拨】（1）把 $(a - b)^2$ 整体看成一个字母，根据合并同类项的法则进行计算；（2）由 $x^2 - 3y = -2$，得 $2(x^2 - 3y) = -4$，即 $2x^2 - 6y = -4$，则可得结果；（3）两式相减可得结果。
【答案】（1）$4(a - b)^2$
（2）因为 $x^2 - 3y = -2$，所以 $2(x^2 - 3y) = -4$，所以 $2x^2 - 6y = -4$，即 $-2x^2 + 6y = 4$，所以 $-2x^2 + 6y + 5 = 4 + 5 = 9$。
（3）因为 $2a - b = -5$，$d - b = 3$，所以 $(2a - b) - (d - b) = -5 - 3$，即 $2a - b - d + b = -8$，所以 $2a - d = -8$。
【要点提示▶ 求代数式的值时，对要求的代数式可以适当变形。】
答案：解：
(1) $-3(a-b)^2+5(a-b)^2+2(a-b)^2=(-3+5+2)(a-b)^2=4(a-b)^2$
(2) 对代数式变形可得：
$-2x^2+6y+5=-2(x^2-3y)+5$
把$x^2-3y=-2$代入上式：
原式$=-2×(-2)+5=4+5=9$
(3) 已知$2a-b=-5$，$d-b=3$，将两式相减：
$(2a-b)-(d-b)=-5-3$
去括号化简得：$2a-b-d+b=2a-d=-8$
即$2a-d=-8$
解析：
【分析】
（1）运用整体思想，将$(a-b)^2$看作一个整体，类比合并同类项法则，只需把各项的系数相加，整体部分保持不变即可得到结果。
（2）观察所求代数式$-2x^2+6y+5$的结构，前两项可提取公因式$-2$，变形为含$x^2-3y$的形式，再将已知条件整体代入计算，不需要单独求出$x$、$y$的具体值。
（3）观察已知两个等式的特征，两个式子都含$-b$，将两个等式左右两边分别相减即可消去$b$，直接得到$2a-d$的结果，运用整体运算思想简化计算。
【解析】
（1）将$(a-b)^2$看作整体合并同类项：
$-3(a-b)^2+5(a-b)^2+2(a-b)^2=(-3+5+2)(a-b)^2=4(a-b)^2$
（2）先对所求代数式变形：
$-2x^2+6y+5=-2(x^2-3y)+5$
把$x^2-3y=-2$代入上式：
原式$=-2×(-2)+5=4+5=9$
（3）已知$\begin{cases}2a-b=-5&①\\d-b=3&②\end{cases}$，用①-②得：
$(2a-b)-(d-b)=-5-3$
去括号化简：$2a-b-d+b=-8$，即$2a-d=-8$
【答案】
（1）$4(a-b)^2$；（2）$9$；（3）$-8$
【知识点】
合并同类项；整体代入思想；代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式运算中的应用，解题核心是通过观察代数式的结构特征，对所求式子或已知条件进行适当变形，通过整体代入或运算快速得到结果，可有效简化计算步骤，避免求解单个未知数的繁琐过程。
【难度系数】
0.75
2. 整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理. 它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用. 例如：已知$x^2 + x = 1$，求代数式$x^2 + x + 2026$的值. 我们将$x^2 + x$作为一个整体代入，得原式$=1 + 2026 = 2027$. 仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）已知$a^2 + a = 1$，求代数式$2a^2 + 2a + 2026$的值；
（2）已知$a + b = -2$，求代数式$5(a + b) - 7a - 7b + 11$的值；
（3）已知$a^2 - 2ab = -5$，$ab + 2b^2 = -3$，求代数式$3a^2 - 4ab + 4b^2$的值.
答案：(1) 因为$a^2+a=1$，所以原式$=2(a^2+a)+2026=2×1+2026=2028$。
(2) 因为$a+b=-2$，所以原式$=5(a+b)-7(a+b)+11=-2(a+b)+11=-2×(-2)+11=15$。
(3) 因为$a^2-2ab=-5$，$ab+2b^2=-3$，所以原式$=3(a^2-2ab)+2(ab+2b^2)=3×(-5)+2×(-3)=-21$。
解析：
【分析】
本题考查整体代入思想求代数式的值，解题思路如下：（1）观察所求代数式$2a^2+2a+2026$，前两项可提取公因数2，转化为含已知整体$a^2+a$的形式，再代入数值计算；（2）先将所求代数式中的$-7a-7b$提取公因数$-7$，变形为$-7(a+b)$，此时代数式整体转化为含已知整体$a+b$的形式，代入数值计算即可；（3）观察已知的两个等式和所求代数式$3a^2-4ab+4b^2$的结构，将所求代数式拆分为$3(a^2-2ab)$与$2(ab+2b^2)$的和，刚好对应已知的两个整体，分别代入两个整体的数值计算即可。
【解析】
(1) 已知$a^2 + a = 1$，对原式变形可得：
$2a^2 + 2a + 2026 = 2(a^2 + a) + 2026$
将$a^2 + a = 1$代入得：
原式$=2×1 + 2026 = 2028$
(2) 已知$a + b = -2$，对原式变形可得：
$5(a + b) - 7a - 7b + 11 = 5(a + b) - 7(a + b) + 11 = -2(a + b) + 11$
将$a + b = -2$代入得：
原式$=-2×(-2) + 11 = 4 + 11 = 15$
(3) 已知$a^2 - 2ab = -5$，$ab + 2b^2 = -3$，对原式变形可得：
$3a^2 - 4ab + 4b^2 = 3(a^2 - 2ab) + 2(ab + 2b^2)$
将$a^2 - 2ab = -5$、$ab + 2b^2 = -3$分别代入得：
原式$=3×(-5) + 2×(-3) = -15 - 6 = -21$
【答案】
(1) $\boxed{2028}$；(2) $\boxed{15}$；(3) $\boxed{-21}$
【知识点】
整体代入思想，代数式求值，整式变形
【点评】
本题是整体思想在代数式求值中的典型应用，解题核心是通过观察、变形，将所求代数式转化为含有已知整体的形式，避免了求解单个未知数的繁琐，有助于培养学生的整体观察能力和整式变形运算能力。
【难度系数】
0.7
