典例⑤（1）若方程$3(x+1)=2+x$的解与关于$x$的方程$\frac{6-2k}{3}=2(x+3)$的解互为倒数，求$k$的值；
（2）已知关于$x$的方程$2(x+1)-m=-\frac{m-2}{2}$的解比关于$y$的方程$5(y-1)-m=4(y-1)+1$的解大2，求$m$的值.
【思路点拨】（1）先解第一个方程，再取其倒数得第二个方程的解，然后将这个解代入第二个方程，即可求出$k$的值；（2）由于两个方程都含有待定字母，所以需先分别解这两个方程，然后根据“第一个方程的解=第二个方程的解+2”，得到关于$m$的方程.
【答案】（1）方程$3(x+1)=2+x$去括号，得$3x+3=2+x$.移项、合并同类项，得$2x=-1$.系数化为1，得$x=-\frac{1}{2}$.因为$-\frac{1}{2}$的倒数为$-2$，所以第二个方程的解为$x=-2$，所以$\frac{6-2k}{3}=2×(-2+3)$，解得$k=0$.
（2）方程$2(x+1)-m=-\frac{m-2}{2}$去分母，得$4(x+1)-2m=-(m-2)$.去括号，得$4x+4-2m=-m+2$.移项、合并同类项，得$4x=m-2$.系数化为1，得$x=\frac{m-2}{4}$.方程$5(y-1)-m=4(y-1)+1$去括号，得$5y-5-m=4y-4+1$.移项、合并同类项，得$y=2+m$.由题意，得$\frac{m-2}{4}=2+m+2$，解得$m=-6$.
【名师大招】解方程的一般步骤：1. 去分母；2. 去括号；3. 移项；4. 合并同类项；5. 系数化为1.
答案：解：
（1）解方程$3(x+1)=2+x$
去括号，得$3x+3=2+x$
移项，得$3x-x=2-3$
合并同类项，得$2x=-1$
系数化为1，得$x=-\dfrac{1}{2}$
因为两个方程的解互为倒数，$-\dfrac{1}{2}$的倒数为$-2$，
所以方程$\dfrac{6-2k}{3}=2(x+3)$的解为$x=-2$。
将$x=-2$代入$\dfrac{6-2k}{3}=2(x+3)$，得：
$\dfrac{6-2k}{3}=2×(-2+3)$
化简得$\dfrac{6-2k}{3}=2$
两边同乘3，得$6-2k=6$
移项、合并同类项，得$-2k=0$
系数化为1，得$k=0$。
（2）解方程$2(x+1)-m=-\dfrac{m-2}{2}$
去分母，两边同乘2，得$4(x+1)-2m=-(m-2)$
去括号，得$4x+4-2m=-m+2$
移项，得$4x=2m-m+2-4$
合并同类项，得$4x=m-2$
系数化为1，得$x=\dfrac{m-2}{4}$。
解方程$5(y-1)-m=4(y-1)+1$
去括号，得$5y-5-m=4y-4+1$
移项，得$5y-4y=-4+1+5+m$
合并同类项，得$y=2+m$。
由题意，$x$的解比$y$的解大2，可得：
$\dfrac{m-2}{4}=(2+m)+2$
两边同乘4，得$m-2=4×(4+m)$
化简得$m-2=16+4m$
移项、合并同类项，得$-3m=18$
系数化为1，得$m=-6$。
综上，$k$的值为$0$，$m$的值为$-6$。
解析：
【分析】
（1）要求k的值，需先得到第二个方程的解：首先求解不含参数的方程$3(x+1)=2+x$，得到它的解；根据两个方程的解互为倒数，求出第一个解的倒数，即为第二个方程的解；将第二个方程的解代入含k的方程，得到只含k的一元一次方程，求解即可得k的值。
（2）要求m的值，需先分别用m表示出两个方程的解：先解关于x的方程，把x用含m的代数式表示；再解关于y的方程，把y用含m的代数式表示；根据“x的解比y的解大2”列出关于m的一元一次方程，求解即可得m的值。
【解析】
（1）解方程$3(x+1)=2+x$：
去括号，得$3x+3=2+x$
移项，得$3x-x=2-3$
合并同类项，得$2x=-1$
系数化为1，得$x=-\dfrac{1}{2}$
因为两个方程的解互为倒数，$-\dfrac{1}{2}$的倒数为$-2$，所以方程$\dfrac{6-2k}{3}=2(x+3)$的解为$x=-2$。
将$x=-2$代入$\dfrac{6-2k}{3}=2(x+3)$，得：
$\dfrac{6-2k}{3}=2×(-2+3)$
化简得$\dfrac{6-2k}{3}=2$
两边同乘3，得$6-2k=6$
移项、合并同类项，得$-2k=0$
系数化为1，得$k=0$。
（2）解方程$2(x+1)-m=-\dfrac{m-2}{2}$：
去分母，两边同乘2，得$4(x+1)-2m=-(m-2)$
去括号，得$4x+4-2m=-m+2$
移项，得$4x=2m-m+2-4$
合并同类项，得$4x=m-2$
系数化为1，得$x=\dfrac{m-2}{4}$。
解方程$5(y-1)-m=4(y-1)+1$：
去括号，得$5y-5-m=4y-4+1$
移项，得$5y-4y=-4+1+5+m$
合并同类项，得$y=2+m$。
由题意，x的解比y的解大2，可得：
$\dfrac{m-2}{4}=(2+m)+2$
两边同乘4，得$m-2=4×(4+m)$
化简得$m-2=16+4m$
移项、合并同类项，得$-3m=18$
系数化为1，得$m=-6$。
【答案】
$k=0$，$m=-6$
【知识点】
一元一次方程的解法，方程的解的应用，倒数的定义
【点评】
本题是一元一次方程的综合应用题型，解题核心是明确方程的解的含义，先求出已知方程的解或用参数表示出方程的解，再结合题目给出的等量关系构造新的一元一次方程求解，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的基础。
【难度系数】
0.7
5. (2025·江苏徐州二模)定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,那么我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$4x=8$和$x+1=0$为“美好方程”.
(1)若“美好方程”的两个解之差为8,其中一个解为$x=n$,求$n$的值;
(2)若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + k$和$\frac{1}{2025}x + 1 = 0$是“美好方程”,求关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y+1) + 3 = 2y + k + 2$的解.
答案：5. (1) 因为“美好方程”的两个解之和为 1,其中一个解为 $x=n$,所以另一个解为 $x=1-n$. 由题意,得 $|n-(1-n)|=8$,所以 $|2n-1|=8$,所以 $2n-1=8$ 或 $-8$,所以 $n=\frac{9}{2}$ 或 $-\frac{7}{2}$.
(2) 解方程$\frac{1}{2025}x + 1=0$,得 $x=-2025$. 因为关于 $x$ 的一元一次方程$\frac{1}{2025}x + 3=2x + k$ 和 $\frac{1}{2025}x + 1=0$是“美好方程”,$1-(-2025)=2026$,所以关于 $x$ 的一元一次方程$\frac{1}{2025}x + 3=2x + k$ 的解为 $x=2026$. 因为关于 $y$ 的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y + k + 2$ 可化为$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k$,所以 $y+1=2026$,所以 $y=2025$.
解析：
【分析】
（1）首先根据“美好方程”的定义：两个解之和为1，已知其中一个解为n，可直接得出另一个解为1-n；题目给出两个解的差为8，因为不确定两个解的大小关系，所以需用绝对值表示两数之差，列绝对值方程求解即可得到n的值。
（2）先求解已知方程$\frac{1}{2025}x + 1 = 0$的解，再根据“美好方程”的定义求出方程$\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + k$的解；观察待求的关于y的方程，通过变形可将其转化为与$\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + k$结构完全一致的形式，将$y+1$看作整体对应x，无需计算参数k即可直接求出y的值。
【解析】
（1）已知“美好方程”的两个解之和为1，其中一个解为$x=n$，因此另一个解为$x=1-n$。
根据题意，两个解的差为8，可得：
$|n-(1-n)|=8$
化简得$|2n-1|=8$
分两种情况求解：
①当$2n-1=8$时，$2n=9$，解得$n=\frac{9}{2}$；
②当$2n-1=-8$时，$2n=-7$，解得$n=-\frac{7}{2}$。
（2）首先解方程$\frac{1}{2025}x + 1 = 0$：
移项得$\frac{1}{2025}x=-1$，解得$x=-2025$。
因为方程$\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + k$和$\frac{1}{2025}x + 1 = 0$是“美好方程”，所以前者的解为$1-(-2025)=2026$。
接下来对关于y的方程$\frac{1}{2025}(y+1) + 3 = 2y + k + 2$进行变形：
右边整理可得$2y + k + 2 = 2(y+1) + k$，因此原方程可化为：
$\frac{1}{2025}(y+1) + 3 = 2(y+1) + k$
对比方程$\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + k$，可知$y+1$对应x的值2026，即：
$y+1=2026$
解得$y=2025$。
【答案】
（1）$n=\frac{9}{2}$或$n=-\frac{7}{2}$；（2）$y=2025$
【知识点】
新定义问题，一元一次方程的求解，整体代入思想
【点评】
本题以新定义“美好方程”为载体，考查了对新定义的理解能力和一元一次方程的相关应用，第二问运用整体代换的思想规避了复杂的参数计算，能够较好地考查学生的灵活解题能力。
【难度系数】
0.6
