7. 有这样一道应用题:今年乙的年龄是甲的2倍,求甲今年的年龄.老师设甲今年$x$岁,列出了如下所示的表格,小万认为表格中空格处应填$2x+20$,小翔认为表格中空格应填$2(x+20)$,下列说法正确的是
（
C
）
| | 甲 | 乙 |
| --- | --- | --- |
| 今年年龄 |
$x$ | $2x$ |
| 20年后的年龄 | $x+20$ | |
A.两人都错
B.两人都对
C.只有小万对
D.只有小翔对
答案：7. C
解析：
【分析】
解题时首先明确年龄增长的基本规律：每过1年，所有人的年龄都增加1岁，因此20年后的年龄=今年的年龄+20。其次要注意题目仅给出“今年乙的年龄是甲的2倍”，没有说明20年后两人年龄仍存在2倍关系，不能自行添加这个条件推导乙的年龄，只需用乙今年的年龄加20就能得到20年后乙的年龄。
【解析】
已知乙今年的年龄是2x岁，根据年龄增长的规律，20年后乙的年龄为今年年龄加20，即$2x+20$，因此小万的答案正确。
小翔填写的$2(x+20)$是默认20年后乙的年龄仍是甲的2倍，题目没有给出这个条件，该推导不成立，因此小翔的答案错误。
综上只有小万的结论正确。
【答案】
C
【知识点】
列代数式，年龄问题规律
【点评】
本题易错点是想当然认为年龄的倍数关系不随时间变化，实际上年龄差固定不变，但年龄的倍数会随时间改变，解题时要严格依据题目给出的已知条件，不要自行添加未说明的前提。
【难度系数】
0.7
典例⑧（2025·江苏徐州二模）如图，将形状、大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图①中★的个数为$a_1$，图②中★的个数为$a_2$……图ⓝ中★的个数为$a_n$。若$\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\dots+\frac{2}{a_{2025}}=\frac{x}{1013}$，则$x=$
。
【思路点拨】由题意，得$a_1=1×2$，$a_2=2×3$，…，所以$a_{2025}=2025×2026$，所以$\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\dots+\frac{2}{a_{2025}}=2×(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})=\frac{2025}{1013}=\frac{x}{1013}$，所以$x=2025$。
【答案】2025
答案：解：由图形规律可得：
$a_1=1×2$，$a_2=2×3$，$a_3=3×4$，……，$a_n=n(n+1)$
因此$\frac{2}{a_k}=\frac{2}{k(k+1)}=2(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$
则$\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\dots+\frac{2}{a_{2025}}$
$=2×[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})]$
$=2×(1-\frac{1}{2026})$
$=2×\frac{2025}{2026}$
$=\frac{2025}{1013}$
结合已知$\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\dots+\frac{2}{a_{2025}}=\frac{x}{1013}$，得$\frac{2025}{1013}=\frac{x}{1013}$，
解得$x=2025$。
解析：
【分析】
首先观察各图形的★数量：图①有2个★，可表示为$1×2$；图②有6个★，可表示为$2×3$；图③有12个★，可表示为$3×4$，由此归纳得出第n个图形的★个数$a_n=n(n+1)$。接下来处理求和式，观察分式$\frac{2}{a_k}=\frac{2}{k(k+1)}$，可拆分为$2(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$，拆分后求和时相邻的中间项可相互抵消，大幅简化计算，最后将运算结果和$\frac{x}{1013}$对比即可求出x。
【解析】
由图形规律可得：
$a_1=1×2$，$a_2=2×3$，$a_3=3×4$，……，$a_n=n(n+1)$
因此$\frac{2}{a_k}=\frac{2}{k(k+1)}=2(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$
则$\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\dots+\frac{2}{a_{2025}}$
$=2×[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})]$
$=2×(1-\frac{1}{2026})$
$=2×\frac{2025}{2026}$
$=\frac{2025}{1013}$
结合已知$\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\dots+\frac{2}{a_{2025}}=\frac{x}{1013}$，得$\frac{2025}{1013}=\frac{x}{1013}$，
解得$x=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
图形规律探究，裂项相消法，解方程
【点评】
本题是规律类综合题型，将图形规律探究与分式简便运算结合，核心是先通过观察归纳得到通项公式，再用裂项相消法简化求和运算，既考查归纳推理能力，也考查运算能力，是规律类题的典型考法。
【难度系数】
0.6
