典例② 新素养 几何直观 如图,四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱,三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点.观察图形,给出下列说法:① $n$ 棱柱有 $n$ 个面;② $n$ 棱柱有 $3n$ 条棱;③ $n$ 棱柱有 $2n$ 个顶点.其中正确的个数为 (
)
A.0
B.1
C.2
D.3
【思路点拨】因为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱分别有5个面、6个面、7个面、8个面,所以 $n$ 棱柱有 $(n+2)$ 个面,故①错误;因为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱分别有9条棱、12条棱、15条棱、18条棱,所以 $n$ 棱柱有 $3n$ 条棱,故②正确;因为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱分别有6个顶点、
8个顶点、10个顶点、12个顶点,所以 $n$ 棱柱有 $2n$ 个顶点,故③正确.
【答案】C
【名师大招】$n$ 棱柱有 $(n+2)$ 个面, $2n$ 个顶点, $3n$ 条棱;$n$ 棱锥有 $(n+1)$ 个面、$(n+1)$ 个顶点, $2n$ 条棱.因此要判断棱柱与棱锥的顶点数、棱数,只需要先判断棱柱与棱锥的底面是几边形即可.
解析：
【分析】
我们可以结合题目给出的三棱柱到六棱柱的实例，采用从特殊到一般的归纳方法，先总结n棱柱的面、棱、顶点的数量规律，再逐一判断三个说法的正误。首先分别统计已知棱柱的面、棱、顶点数量，推导通用公式，再对应三个说法验证对错，最终统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
结合已知棱柱的特征推导n棱柱的相关规律：
1. 面数验证：三棱柱（n=3）有5个面=3+2，四棱柱（n=4）有6个面=4+2，五棱柱（n=5）有7个面=5+2，因此n棱柱的面数为$\boldsymbol{n+2}$，故说法①错误；
2. 棱数验证：三棱柱（n=3）有9条棱=$3×3$，四棱柱（n=4）有12条棱=$3×4$，五棱柱（n=5）有15条棱=$3×5$，六棱柱（n=6）有18条棱=$3×6$，因此n棱柱的棱数为$\boldsymbol{3n}$，故说法②正确；
3. 顶点数验证：三棱柱（n=3）有6个顶点=$2×3$，四棱柱（n=4）有8个顶点=$2×4$，五棱柱（n=5）有10个顶点=$2×5$，六棱柱（n=6）有12个顶点=$2×6$，因此n棱柱的顶点数为$\boldsymbol{2n}$，故说法③正确。
综上，正确的说法是②③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
棱柱的特征；规律归纳；立体图形认知
【点评】
本题考查棱柱的结构特征，解题核心是掌握从特殊到一般的归纳推理方法，需要熟练记忆n棱柱面、棱、顶点的数量规律，是立体几何的基础题型，能帮助学生建立几何直观素养。
【难度系数】
0.8
