典例④ 如图①是数学活动课上制作的纸魔方变化出的一种形状，如图②是构成纸魔方的一个三棱柱的展开图，尺寸数据如图所示.（单位：cm，阴影部分为内部粘贴角料，计算面积时忽略不计）
（1）做一个三棱柱需要纸片
$\mathrm{cm}^2$，做一个图①所示纸魔方一共需要纸片
$\mathrm{cm}^2$；（用含$a$，$b$的代数式表示）
（2）当$a＝6$，$b＝8.5$时，图①所示纸魔方一共用纸片多少平方厘米？
【思路点拨】（1）由题意，得做一个三棱柱需要纸片面积为$a^2+a^2+ab+2×\frac{1}{2}a^2=(3a^2+ab)\mathrm{cm}^2$，做一个图①所示纸魔方一共需要纸片$16(3a^2+ab)=(48a^2+16ab)\mathrm{cm}^2$.（2）把$a＝6$，$b＝8.5$代入（1）中代数式计算即可.
【答案】（1）$(3a^2+ab)$ $(48a^2+16ab)$
（2）当$a＝6$，$b＝8.5$时，$48a^2+16ab=48×6^2+16×6×8.5=2544$，所以图①所示纸魔方一共用纸片$2544\mathrm{cm}^2$.
【名师大招】因为几何体是由面围成的，所以几何体通常可以转化成平面图形.一般地，它有几个面，它的平面展开图就由几个面构成.
答案：解：
（1）一个三棱柱的展开图中，2个边长为$a$的正方形面积和为$2a^2$，2个直角边长为$a$的等腰直角三角形面积和为$2×\frac{1}{2}a^2=a^2$，长为$b$、宽为$a$的长方形面积为$ab$，
因此做一个三棱柱需要纸片：$2a^2+a^2+ab=3a^2+ab\ \mathrm{cm}^2$。
图①的纸魔方共由16个这样的三棱柱组成，因此总纸片面积为：$16×(3a^2+ab)=48a^2+16ab\ \mathrm{cm}^2$。
（2）当$a=6$，$b=8.5$时，代入代数式得：
$48a^2+16ab$
$=48×6^2+16×6×8.5$
$=48×36+816$
$=1728+816$
$=2544$
答：图①所示纸魔方一共用纸片2544平方厘米。
解析：
【分析】
（1）计算单个三棱柱的纸片面积时，先拆分它的展开图组成：包含2个边长为a的正方形、2个直角边长为a的等腰直角三角形、1个长为b宽为a的长方形，分别计算各面面积求和即可得到单个三棱柱的面积；再观察图①可数出共有16个完全相同的三棱柱，用单个面积乘16即可得到纸魔方的总纸片面积。（2）第二问是代数式求值问题，把a、b的数值代入第一问得到的总面积极值式，按照有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
（1）一个三棱柱的展开图中，2个边长为$a$的正方形面积和为$2a^2$，2个直角边长为$a$的等腰直角三角形面积和为$2×\frac{1}{2}a^2=a^2$，长为$b$、宽为$a$的长方形面积为$ab$，
因此做一个三棱柱需要纸片：$2a^2+a^2+ab=3a^2+ab\ \mathrm{cm}^2$。
图①的纸魔方共由16个这样的三棱柱组成，因此总纸片面积为：$16×(3a^2+ab)=48a^2+16ab\ \mathrm{cm}^2$。
（2）当$a=6$，$b=8.5$时，代入代数式得：
$48a^2+16ab$
$=48×6^2+16×6×8.5$
$=48×36+816$
$=1728+816$
$=2544$
答：图①所示纸魔方一共用纸片2544平方厘米。
【答案】
（1）$(3a^2+ab)$，$(48a^2+16ab)$
（2）$2544\mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，几何体展开图面积计算
【点评】
本题结合纸魔方的实际情境，考查几何体展开图的面积计算与代数式的相关应用，解题的关键是准确识别展开图的各组成面，数清构成整体的三棱柱数量，代入数值计算时注意遵循运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
4. 某校七(1)班同学计划用卡纸制作长方体礼盒，图①为长方体礼盒不完整的展开图(单位:cm).
(1) 用直尺在图①中适当的位置画一个长方形，补全展开图:
(2) 若将补全的展开图制作成长方体礼盒，用彩带(加粗线)按照图②的示意图进行包装.
① 长方体礼盒的棱长 AB 为
z
cm；
② 若彩带价格为 2 元/cm，则购买彩带至少要花费多少元？
答案：4. (1) 图略.
(2) ① z
② 由题图②,得彩带的总长度至少为 2(x+z)+2(x+y)×2=(6x+4y+2z)cm,所以购买彩带至少要花费 2×(6x+4y+2z)=(12x+8y+4z)元.
解析：
【分析】
(1) 长方体展开图共有6个面，且相对的面大小、形状完全相同。观察现有展开图，已具备5个面，缺失1个与带叶子图案的小长方形相同的面，只需将这个长方形补在符合长方体展开图结构的位置即可。
(2) ① 先对应展开图与立体长方体的棱长：展开图中x为长方体的高，y为长方体的宽，z为长方体的长，观察图②的长方体，AB是长方体的长，对应展开图中的z。
② 计算彩带长度时，先数清彩带覆盖的各棱长的数量：观察包装示意图，彩带共包含2段长z、4段宽y、6段高x，相加得到彩带总长度，再乘以彩带单价即可得到总花费。
【解析】
(1) 结合长方体展开图的面的特征，补出缺失的长方形即可，位置合理即可（图略）。
(2) ① 对比展开图和立体图形的棱长，AB对应展开图中长度为z的棱，故AB长为z cm。
② 由包装示意图可知，彩带的总长度最少为：
$2z + 4y + 6x = (6x + 4y + 2z)\ \mathrm{cm}$
已知彩带单价为2元/cm，总花费为：
$2×(6x + 4y + 2z) = (12x + 8y + 4z)$元
【答案】
(1) 图略
(2) ① $\boldsymbol{z}$；② 购买彩带至少要花费$\boldsymbol{(12x + 8y + 4z)}$元。
【知识点】
长方体展开与折叠；列代数式；整式的实际应用
【点评】
本题结合生活中的礼盒包装场景，既考查了对长方体展开图的空间认知能力，又考查了列代数式解决实际问题的能力，需要学生准确对应立体图形和展开图的棱长，同时细心数出彩带覆盖的棱的数量，实用性较强。
【难度系数】
0.7
