新考向 综合与实践
典例 (1)【基础尝试】若准备制作一个正方体纸盒,则图①中经过折叠能围成正方体纸盒的有
;(填汉字)
(2)【操作探究】如图②,小明准备在边长为a cm的正方形硬纸板的4个角上各剪去一个相同的小正方形,制作一个无盖的长方体纸盒,其底面边长为x cm.
① 这个纸盒的底面积为
cm²,高为
cm;(用含a,x的代数式表示)
② 若当$x=8$时,制作的无盖长方体纸盒的容积为$192\ \mathrm{cm}^3$,则当$x=4$时,求制作的无盖长方体纸盒的容积;
(3)【拓展设计】小新将正方形硬纸板按图③方式裁剪(保留阴影部分),制作了一个无盖的长方体纸盒.已知A,B,C,D四个面上分别标有代数式$m^2-2mn,mn+2n^2,\frac{1}{3},3$.若该纸盒相对的两个面上的代数式相等,求代数式$3m^2-\frac{9}{2}mn+3n^2$的值.
母题分析▶(1) 根据正方体的平面展开图解答;(2) 根据图②的裁剪,分别表示出纸盒的长、宽、高,进而代入计算;(3) 根据平面展开图找出相对面,再进行化简求值.
【答案】(1) 甲、乙、丁
(2) ① $x^2$ $\frac{a-x}{2}$
② 由①,得这个纸盒的底面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$,高为$\frac{a-x}{2}\ \mathrm{cm}$,所以这个纸盒的容积为$\frac{x^2(a-x)}{2}\ \mathrm{cm}^3$.又当$x=8$时,制作的无盖长方体纸盒的容积为$192\ \mathrm{cm}^3$,所以$64×\frac{a-8}{2}=192$,解得$a=14$,所以当$x=4$时,纸盒的底面积为$16\ \mathrm{cm}^2$,高为$\frac{14-4}{2}=5(\mathrm{cm})$,所以此时制作的无盖长方体纸盒的容积为$16×5=80(\mathrm{cm}^3)$.
(3) 由平面展开图,得“A”与“C”是相对面,“B”与“D”是相对面.因为相对的两个面上的代数式相等,所以$m^2-2mn=\frac{1}{3},mn+2n^2=3$,所以$3m^2-\frac{9}{2}mn+3n^2=3m^2-6mn+\frac{3}{2}mn+3n^2=3(m^2-2mn)+\frac{3}{2}(mn+2n^2)=3×\frac{1}{3}+\frac{3}{2}×3=\frac{11}{2}$.
