4. 如图,在同一平面内,$∠ BOC=90°$,$∠ AOD=∠ COD$,射线$OE$在$∠ BOC$的内部.若$∠ AOC=α$($α＜90°$),$∠ BOE=2∠ COE$,则$∠ DOE$的余角的度数为
$60°-\frac{α}{2}$
.(用含$α$的式子表示)
答案：4. $60°-\frac{α}{2}$ 解析: 因为 $∠AOC=α(α＜90°)$,$∠AOC=∠AOD+∠COD$,$∠AOD=∠COD$,所以 $∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{α}{2}$. 因为 $∠BOE=2∠COE$,$∠BOC=90°$,$∠BOC=∠BOE+∠COE$,所以 $3∠COE=90°$,即 $∠COE=30°$,所以 $∠DOE=∠COD+∠COE=30°+\frac{α}{2}$,所以 $∠DOE$ 的余角的度数为 $90°−∠DOE=60°−\frac{α}{2}$.
解析：
【分析】
要求∠DOE的余角，首先需要先求出∠DOE的度数。观察图形可知∠DOE=∠COD+∠COE，因此我们分两步分别计算两个角的度数：①已知∠AOC=α，且∠AOD=∠COD，即OD是∠AOC的角平分线，根据角平分线的性质可求出∠COD的度数；②已知∠BOC=90°，∠BOE=2∠COE，根据∠BOC=∠BOE+∠COE的和差关系，可求出∠COE的度数。得到∠DOE的度数后，再根据余角的定义，用90°减去∠DOE即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ $∠ AOC=α$，$∠ AOC=∠ AOD+∠ COD$，且$∠ AOD=∠ COD$
∴ $∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{α}{2}$
∵ $∠ BOC=90°$，$∠ BOC=∠ BOE+∠ COE$，且$∠ BOE=2∠ COE$
∴ $2∠ COE+∠ COE=90°$，即$3∠ COE=90°$
解得$∠ COE=30°$
∴ $∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{α}{2}+30°$
根据余角的定义，$∠ DOE$的余角为：
$90°-∠ DOE=90°-(\frac{α}{2}+30°)=60°-\frac{α}{2}$
【答案】
$60°-\frac{α}{2}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，余角的定义
【点评】
本题是角的计算的常规题型，解题关键是结合图形理清各角之间的数量关系，根据已知条件逐步推导所求角的度数，计算时注意角的倍数关系不要混淆即可。
【难度系数】
0.7
典例⑤ 将一副三角板按如图所示的位置摆放，射线AF平分∠BAD，射线AG平分∠CAD。给出下列结论：① ∠BAE+∠CAD=180°；② ∠FAG=45°；③ ∠FAG的度数随∠CAD度数的变化而变化；④ 若∠CAD=45°，则AC平分∠FAG。其中正确的是 （
）
A.①③④
B.①②
C.③④
D.①②④
【思路点拨】因为∠BAE+∠EAD+∠CAD+∠BAC=360°，∠BAC=∠EAD=90°，所以∠BAE+∠CAD=180°，故①正确；因为射线AF平分∠BAD，射线AG平分∠CAD，所以∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠GAD=$\frac{1}{2}$∠CAD，所以∠FAD - ∠GAD=$\frac{1}{2}$(∠BAD - ∠CAD)=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，即∠FAG=45°，故②正确，③错误；因为∠CAD=45°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°。因为射线AF平分∠BAD，射线AG平分∠CAD，所以∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=67.5°，∠CAG=$\frac{1}{2}$∠CAD=22.5°，所以∠FAC=∠BAC - ∠BAF=22.5°，所以∠CAG=∠FAC，所以AC平分∠FAG，故④正确。综上所述，其中正确的结论是①②④。
【答案】D
答案：D
解析：
【分析】
解题时先利用三角板的固有直角属性，结合周角、角平分线的性质逐个验证四个结论：
1. 验证结论①：观察图形可知四个角∠BAE、∠EAD、∠CAD、∠BAC组成周角，减去两个三角板的直角即可得到∠BAE与∠CAD的和；
2. 验证结论②③：根据角平分线定义将∠FAG转化为两个角的差，提取公因式后可发现∠FAG的度数是固定值，即可判断②③的正误；
3. 验证结论④：代入∠CAD=45°，分别计算∠FAC和∠CAG的度数，判断二者是否相等即可确定AC是否平分∠FAG。
【解析】
已知两块三角板的直角∠BAC=∠EAD=90°，射线AF平分∠BAD，射线AG平分∠CAD。
1. 验证结论①：
∵ ∠BAE+∠EAD+∠CAD+∠BAC=360°（周角为360°），代入∠EAD=∠BAC=90°
∴ ∠BAE+90°+∠CAD+90°=360°，化简得∠BAE+∠CAD=180°，故①正确。
2. 验证结论②③：
∵ AF平分∠BAD，
∴ ∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAD；
∵ AG平分∠CAD，
∴ ∠GAD=$\frac{1}{2}$∠CAD；
∴ ∠FAG=∠FAD-∠GAD=$\frac{1}{2}$∠BAD - $\frac{1}{2}$∠CAD=$\frac{1}{2}$(∠BAD-∠CAD)
又
∵ ∠BAD-∠CAD=∠BAC=90°
∴ ∠FAG=$\frac{1}{2}$×90°=45°，是固定值，不随∠CAD的变化而变化，故②正确，③错误。
3. 验证结论④：
若∠CAD=45°，则∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+45°=135°
∵ AF平分∠BAD，
∴ ∠BAF=$\frac{1}{2}$×135°=67.5°
∴ ∠FAC=∠BAC - ∠BAF=90°-67.5°=22.5°
∵ AG平分∠CAD，
∴ ∠CAG=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°
∴ ∠FAC=∠CAG，即AC平分∠FAG，故④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；周角的性质
【点评】
本题结合三角板的摆放考查角度的计算与判断，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，能够从图形中准确梳理出各角之间的和差关系，注意三角板的90°角是隐含的已知条件。
【难度系数】
0.7
