2026年亮点给力提优课时作业本七年级数学上册苏科版第43页解析答案——零五网—

如图,点 C 在线段 AB 上,AC=2BC.
(1) 若 AB=24,求 AC 和 BC 的长;
(2) 若 AB=15,DE=6,线段 DE 在线段 AB 上移动(点 D,E 不与点 A,B 重合),且点 D 在点 E 的左侧.
① 当 E 为 BC 的中点时,求 AD 的长;
② 点 F(不与点 A,B,C 重合)在线段 AB 上,AF=3AD,CF=3,求 AE 的长.

答案：
(1) 因为 AB=24,AC+BC=AB,AC=2BC,所以 2BC+BC=24,即 3BC=24,所以 BC=8,所以 AC=16.
(2) 因为 AB=15,AC=2BC,所以 AB=AC+BC=3BC=15,所以 BC=5,AC=10.
① 因为 E 为 BC 的中点,所以 $CE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$. 因为 DE=6,所以 $CD=DE−CE=\frac{7}{2}$,所以 $AD=AC−CD=\frac{13}{2}$.
② 因为 CF=3,所以分类讨论如下:如图①,当点 F 在点 C 右边时,AF=AC+CF=13. 因为 AF=3AD,所以 $AD=\frac{1}{3}AF=\frac{13}{3}$. 因为 DE=6,所以 $AE=AD+DE=\frac{31}{3}$;如图②,当点 F 在点 C 左边时,AF=AC−CF=7. 因为 AF=3AD,所以 $AD=\frac{1}{3}AF=\frac{7}{3}$. 因为 DE=6,所以 $AE=AD+DE=\frac{25}{3}$. 综上所述,AE 的长为 $\frac{31}{3}$或$\frac{25}{3}$.

解析：

【分析】
（1）第一问根据线段和的关系AC+BC=AB，结合已知条件AC=2BC，将AC替换为2BC代入，即可得到关于BC的一元一次方程，求解后再计算AC的长度即可。
（2）首先先根据AB=15、AC=2BC，先求出AC、BC的固定长度：①已知E是BC中点，先求出CE的长度，再结合DE的长度，用DE减去CE得到CD的长度，最后用AC减去CD即可得到AD的长度；②点F的位置不确定，需分两种情况讨论：第一种是F在C的右侧，第二种是F在C的左侧，分别根据CF=3算出AF的长度，再结合AF=3AD求出AD，最后根据AE=AD+DE算出两种情况下的AE值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由线段和的关系可得$AC+BC=AB$，已知$AC=2BC$，$AB=24$，
将$AC=2BC$代入得：$2BC+BC=24$，即$3BC=24$，
解得$BC=8$，
因此$AC=2BC=2×8=16$。
(2) 已知$AB=15$，$AC=2BC$，$AC+BC=AB$，
所以$2BC+BC=15$，即$3BC=15$，解得$BC=5$，$AC=2×5=10$。
① 因为E为BC的中点，所以$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，
又因为$DE=6$，所以$CD=DE-CE=6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$，
则$AD=AC-CD=10-\frac{7}{2}=\frac{13}{2}$。
② 分两种情况讨论：
当点F在点C右侧时（如图①），$AF=AC+CF=10+3=13$，
因为$AF=3AD$，所以$AD=\frac{1}{3}AF=\frac{13}{3}$，
又$DE=6$，所以$AE=AD+DE=\frac{13}{3}+6=\frac{31}{3}$；
当点F在点C左侧时（如图②），$AF=AC-CF=10-3=7$，
因为$AF=3AD$，所以$AD=\frac{1}{3}AF=\frac{7}{3}$，
又$DE=6$，所以$AE=AD+DE=\frac{7}{3}+6=\frac{25}{3}$。
综上，AE的长为$\frac{31}{3}$或$\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) $AC=16$，$BC=8$；
(2) ① $AD=\frac{13}{2}$；② $AE$的长为$\frac{31}{3}$或$\frac{25}{3}$。

【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
本题围绕线段的和差关系展开考查，前两小问难度较低，掌握线段和差计算规则及中点定义即可求解；第②小问需要注意点F的位置不确定，需结合题意分情况讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6

典例 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手.如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间姿势的平面示意图，其中$∠ GHN : ∠ FGE = 2:1$，$∠ HGF = 140°$，$GE // MN$.
（1）求$∠ GHM$的度数；
（2）若$GH // DE$，$∠ ABC = 150°$，$∠ BCE = 68°$，$∠ GEC = 118°$，试说明：$GH // AB$.

母题分析▶（1）设$∠ FGE = α$，则$∠ GHN = 2α$.利用$GE // MN$和$∠ HGF = 140°$可求出$α = 40°$，即可得到结果；（2）作直线$QC // AB$，得到$∠ QCE = 38°$，利用$GH // DE$，得到$∠ DEC = 142°$，则$∠ QCE + ∠ DEC = 180°$，即可得出结论.
【答案】（1）设$∠ FGE = α$.因为$∠ GHN : ∠ FGE = 2:1$，所以$∠ GHN = 2α$.因为$∠ HGF = 140°$，所以$∠ EGH = ∠ HGF - ∠ FGE = 140° - α$.因为$GE // MN$，所以$∠ GHM = ∠ EGH$，$∠ EGH + ∠ GHN = 180°$，所以$140° - α + 2α = 180°$，所以$α = 40°$，所以$∠ GHM = ∠ EGH = 140° - α = 100°$.
（2）如图，过点$C$作直线$QC // AB$，则$∠ QCB + ∠ ABC = 180°$.因为$∠ ABC = 150°$，所以$∠ QCB = 180° - ∠ ABC = 30°$.又$∠ BCE = 68°$，所以$∠ QCE = ∠ BCE - ∠ QCB = 38°$.因为$GH // DE$，所以$∠ DEG = ∠ EGH = 100°$.因为$∠ GEC = 118°$，所以$∠ DEC = 360° - ∠ DEG - ∠ GEC = 142°$，所以$∠ QCE + ∠ DEC = 180°$，所以$QC // DE$，所以$GH // AB$.

答案：解：(1) 设$∠ FGE = α$。
$\because ∠ GHN: ∠ FGE = 2:1$，
$\therefore ∠ GHN = 2α$。
$\because ∠ HGF = 140°$，
$\therefore ∠ EGH = ∠ HGF - ∠ FGE = 140° - α$。
$\because GE // MN$，
$\therefore ∠ EGH + ∠ GHN = 180°$，$∠ GHM = ∠ EGH$，
$\therefore 140° - α + 2α = 180°$，
解得$α = 40°$，
$\therefore ∠ GHM = 140° - α = 100°$。
(2) 过点$C$作直线$QC // AB$，
$\therefore ∠ QCB + ∠ ABC = 180°$。
$\because ∠ ABC = 150°$，
$\therefore ∠ QCB = 180° - 150° = 30°$。
$\because ∠ BCE = 68°$，
$\therefore ∠ QCE = ∠ BCE - ∠ QCB = 68° - 30° = 38°$。
$\because GH // DE$，
$\therefore ∠ DEG = ∠ EGH = 100°$。
$\because ∠ GEC = 118°$，
$\therefore ∠ DEC = 360° - ∠ DEG - ∠ GEC = 360° - 100° - 118° = 142°$，
$\therefore ∠ QCE + ∠ DEC = 38° + 142° = 180°$，
$\therefore QC // DE$。
$\because GH // DE$，
$\therefore GH // QC$，
又$\because QC // AB$，
$\therefore GH // AB$。

解析：

【分析】
（1）题目给出了∠GHN与∠FGE的比例关系，可先设未知数表示两个角的度数；再结合GE//MN的平行线性质，得到同旁内角互补的角度关系，同时利用已知的∠HGF=140°，将∠EGH用含未知数的式子表示，列方程求解出未知数后即可计算∠GHM的度数。
（2）要证明GH//AB，可借助平行的传递性，通过作辅助线QC//AB，先计算出∠QCE的度数；再结合GH//DE的条件，计算出∠DEC的度数，通过同旁内角互补证明QC//DE，进而得到GH//QC，最终推出GH//AB。
【解析】
(1) 设$∠ FGE = α$。
$\because ∠ GHN: ∠ FGE = 2:1$，
$\therefore ∠ GHN = 2α$。
$\because ∠ HGF = 140°$，
$\therefore ∠ EGH = ∠ HGF - ∠ FGE = 140° - α$。
$\because GE // MN$，
$\therefore ∠ EGH + ∠ GHN = 180°$，$∠ GHM = ∠ EGH$，
$\therefore 140° - α + 2α = 180°$，
解得$α = 40°$，
$\therefore ∠ GHM = 140° - α = 100°$。
(2) 过点$C$作直线$QC // AB$，
$\therefore ∠ QCB + ∠ ABC = 180°$。
$\because ∠ ABC = 150°$，
$\therefore ∠ QCB = 180° - 150° = 30°$。
$\because ∠ BCE = 68°$，
$\therefore ∠ QCE = ∠ BCE - ∠ QCB = 68° - 30° = 38°$。
$\because GH // DE$，
$\therefore ∠ DEG = ∠ EGH = 100°$。
$\because ∠ GEC = 118°$，
$\therefore ∠ DEC = 360° - ∠ DEG - ∠ GEC = 360° - 100° - 118° = 142°$，
$\therefore ∠ QCE + ∠ DEC = 38° + 142° = 180°$，
$\therefore QC // DE$。
$\because GH // DE$，
$\therefore GH // QC$，
又$\because QC // AB$，
$\therefore GH // AB$。
【答案】
（1）$∠ GHM = 100°$；
（2）$GH // AB$，证明成立。
【知识点】
1. 平行线的性质与判定
2. 角度和差计算
3. 平行公理推论
【点评】
本题结合热点场景命题，综合考查了平行线相关定理的应用，既用到方程思想求解角度，也需要通过作辅助线转化角度关系来证明平行，能够较好地检验学生对平面图形中角度关系和平行判定的掌握程度。
【难度系数】
0.6