例题 如图11-5-1所示,塔式起重机上的滑轮组将重为$1.2× 10^{4}\ \mathrm{N}$的重物匀速吊起4 m时,滑轮组的机械效率为80%。求:
(1)提升重物做的有用功。
(2)绳端的拉力。
(3)若动滑轮的重为500 N,则克服摩擦和钢丝绳重所做的功是多少?

图11-5-1
解析 (1)提升重物做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh=1.2× 10^{4}\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=4.8× 10^{4}\ \mathrm{J}$
(2)拉力做的总功$W_{\mathrm{总}}=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{\eta}=\frac{4.8× 10^{4}\ \mathrm{J}}{80\%}=6× 10^{4}\ \mathrm{J}$
拉力端移动的距离$s=nh=3×4\ \mathrm{m}=12\ \mathrm{m}$
由$W_{\mathrm{总}}=Fs$可得,拉力大小$F=\frac{W_{\mathrm{总}}}{s}=\frac{6× 10^{4}\ \mathrm{J}}{12\ \mathrm{m}}=5× 10^{3}\ \mathrm{N}$
(3)拉力做的总额外功$W_{\mathrm{额外}}=W_{\mathrm{总}}-W_{\mathrm{有用}}=6× 10^{4}\ \mathrm{J}-4.8× 10^{4}\ \mathrm{J}=1.2× 10^{4}\ \mathrm{J}$
提升动滑轮做的功$W_{\mathrm{额外1}}=G_{\mathrm{动}}h=500\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=2× 10^{3}\ \mathrm{J}$
克服摩擦和钢丝绳重所做的功$W_{\mathrm{额外2}}=W_{\mathrm{额外}}-W_{\mathrm{额外1}}=1.2× 10^{4}\ \mathrm{J}-2× 10^{3}\ \mathrm{J}=1× 10^{4}\ \mathrm{J}$
说明 判断有用功、额外功、总功的关键是明确使用机械做功的目的。凡是用机械来提升物体的,使物体升高所做的功为有用功,且有$W_{\mathrm{有用}}=Gh$,即有用功等于物体的重力与被提升高度的乘积。凡是动力做的功就是总功,且有$W_{\mathrm{总}}=Fs$,它等于动力与物体沿动力方向移动的距离的乘积。用来克服摩擦和机械自身重力等所做的功为额外功,$W_{\mathrm{额外}}=W_{\mathrm{总}}-W_{\mathrm{有用}}$。
解析:
【分析】
本题考查滑轮组中有用功、总功、拉力及额外功的计算,解题思路如下:
1. 明确有用功是提升重物所做的功,利用公式$W_{\mathrm{有用}}=Gh$直接计算;
2. 已知机械效率,根据$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}$求出总功;先确定滑轮组承担物重的绳子段数$n=3$,得到绳端移动距离$s=nh$,再由$W_{\mathrm{总}}=Fs$推导拉力$F=\frac{W_{\mathrm{总}}}{s}$;
3. 额外功是总功与有用功的差值,额外功包含提升动滑轮的功和克服摩擦、钢丝绳重的功,因此用总额外功减去提升动滑轮的功,即可得到克服摩擦和钢丝绳重的功。
【解析】
解:
(1)提升重物做的有用功:
$W_{\mathrm{有用}}=Gh=1.2×10^4\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=4.8×10^4\ \mathrm{J}$;
(2)由机械效率公式$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}$,可得拉力做的总功:
$W_{\mathrm{总}}=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{\eta}=\frac{4.8×10^4\ \mathrm{J}}{80\%}=6×10^4\ \mathrm{J}$;
由图可知,承担物重的绳子段数$n=3$,则绳端移动的距离:
$s=nh=3×4\ \mathrm{m}=12\ \mathrm{m}$;
根据$W_{\mathrm{总}}=Fs$,可得绳端的拉力:
$F=\frac{W_{\mathrm{总}}}{s}=\frac{6×10^4\ \mathrm{J}}{12\ \mathrm{m}}=5×10^3\ \mathrm{N}$;
(3)拉力做的总额外功:
$W_{\mathrm{额外}}=W_{\mathrm{总}}-W_{\mathrm{有用}}=6×10^4\ \mathrm{J}-4.8×10^4\ \mathrm{J}=1.2×10^4\ \mathrm{J}$;
提升动滑轮所做的额外功:
$W_{\mathrm{额外1}}=G_{\mathrm{动}}h=500\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=2×10^3\ \mathrm{J}$;
则克服摩擦和钢丝绳重所做的功:
$W_{\mathrm{额外2}}=W_{\mathrm{额外}}-W_{\mathrm{额外1}}=1.2×10^4\ \mathrm{J}-2×10^3\ \mathrm{J}=1×10^4\ \mathrm{J}$。
【答案】
(1)提升重物做的有用功为$4.8×10^4\ \mathrm{J}$;(2)绳端的拉力为$5×10^3\ \mathrm{N}$;(3)克服摩擦和钢丝绳重所做的功是$1×10^4\ \mathrm{J}$。
【知识点】
滑轮组的功、机械效率、额外功计算
【点评】
本题是滑轮组相关功和机械效率的基础应用题,核心是区分有用功、总功、额外功的概念,掌握相关公式的应用,关键在于正确判断承担物重的绳子段数,整体难度不大,适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.6