写出正比例函数$y=2x$的图象特征和性质，你能尝试证明吗？
答案：解：
1. 图象特征
正比例函数$y=2x$的图象是经过坐标原点$(0,0)$的一条直线，该直线经过第一、三象限，从左向右呈上升趋势。
2. 函数性质
① 自变量$x$的取值范围是全体实数；
② $y$的值随$x$值的增大而增大。
3. 证明
(1) 证明图象是过原点的直线：
当$x=0$时，$y=2×0=0$，函数图象过点$(0,0)$；
当$x=1$时，$y=2×1=2$，函数图象过点$(1,2)$。
根据“两点确定一条直线”，过点$(0,0)$和$(1,2)$所作的直线就是$y=2x$的图象，因此它是经过原点的一条直线。
(2) 证明图象经过第一、三象限：
若$x＞0$，则$y=2x＞0$，所有横坐标为正的对应点横、纵坐标均为正，都落在第一象限内；
若$x＜0$，则$y=2x＜0$，所有横坐标为负的对应点横、纵坐标均为负，都落在第三象限内，因此该直线经过第一、三象限。
(3) 证明$y$随$x$的增大而增大：
在函数自变量取值范围内任取两个数$x_1$、$x_2$，令$x_1＜x_2$，
对应的函数值分别为$y_1=2x_1$，$y_2=2x_2$，
则$y_2 - y_1 = 2x_2 - 2x_1 = 2(x_2 - x_1)$，
因为$x_1＜x_2$，所以$x_2 - x_1＞0$，
因此$2(x_2 - x_1)＞0$，即$y_2＞y_1$，
可得当$x_1＜x_2$时，必有$y_1＜y_2$，即$y$随$x$的增大而增大。
例 在同一平面直角坐标系中,画出下列正比例函数的图象.观察图象,你有什么发现?
(1) $y=x$;
(2) $y=-x$;
(3) $y=\frac{1}{2}x$;
(4) $y=-\frac{1}{2}x$.
答案：解：
1. 绘制图象：
正比例函数的图象是经过原点的直线，采用两点法画图：
画$y=x$的图象：过点$(0,0)$和$(1,1)$画直线；
画$y=-x$的图象：过点$(0,0)$和$(1,-1)$画直线；
画$y=\frac{1}{2}x$的图象：过点$(0,0)$和$(2,1)$画直线；
画$y=-\frac{1}{2}x$的图象：过点$(0,0)$和$(2,-1)$画直线。
2. 观察图象可得结论：
① 四个正比例函数的图象都是经过坐标原点的直线；
② 当比例系数$k＞0$时，正比例函数$y=kx$的图象经过第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大，且$|k|$越大，直线越靠近$y$轴；
③ 当比例系数$k＜0$时，正比例函数$y=kx$的图象经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小，且$|k|$越大，直线越靠近$y$轴。
（1）正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象经过的象限是（
）。
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案：B
解析：
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过原点的直线，当k＞0时，图象经过第一、三象限。本题中k=1/2＞0，因此函数$y=\frac{1}{2}x$的图象经过第一、三象限。
(2) 正比例函数 $ y = kx (k ＜ 0) $ 的图象经过的象限是(
).
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案：C
解析：
正比例函数$y=kx$的图象是经过原点的直线，当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，直线从左上向右下延伸，因此图象经过第二、四象限。
2. 已知正比例函数$y=(m+1)x$，y随x的增大而减小，则m的取值范围是
。
答案：$m＜-1$
解析：
解：
∵正比例函数$y=(m+1)x$中，y随x的增大而减小，
∴比例系数$m+1＜0$，
解得$m＜-1$。
3. 已知点$A(-2,y_1),B(-1,y_2)$都在正比例函数$y=-2x$的图象上,则$y_1$ ______ $y_2$.(填“＞”或“＜”)
答案：$＞$
解析：
解：
将点$A(-2,y_1)$代入$y=-2x$，得
$y_1=-2×(-2)=4$，
将点$B(-1,y_2)$代入$y=-2x$，得
$y_2=-2×(-1)=2$，
因为$4＞2$，所以$y_1＞y_2$。
4. 已知正比例函数$y=-2x$.
（1）在平面直角坐标系中画出函数图象；
（2）根据图象，直接写出当$y≥ -4$时，$x$的取值范围.
答案：解：
(1) 正比例函数的图象是经过原点的直线，取两组对应值：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=-2$。
在平面直角坐标系内描出点$O(0,0)$和点$A(1,-2)$，过这两点作直线，该直线即为函数$y=-2x$的图象。
(2) 当$y≥ -4$时，$x$的取值范围是$x≤ 2$。
