1.（1）角平分线上的点到
相等.
如图，∵点P在∠AOB的平分线上，
⊥
，
⊥
，
∴
=
.
（2）角的内部到
相等的点在角的平分线上.
如图，∵
⊥
，
⊥
，
=
，
∴点P在∠AOB的平分线上.
[第2(1)题]
[第2(2)题]
答案：解：
(1) 角平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图，∵ 点 P 在∠AOB 的平分线上，$\boldsymbol{PD}⊥\boldsymbol{OA}$，$\boldsymbol{PE}⊥\boldsymbol{OB}$，
∴ $\boldsymbol{PD}=\boldsymbol{PE}$.
(2) 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
如图，∵ $\boldsymbol{PD}⊥\boldsymbol{OA}$，$\boldsymbol{PE}⊥\boldsymbol{OB}$，$\boldsymbol{PD}=\boldsymbol{PE}$，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
2. (1) 如图，$∠ C=90°$，$∠ 1=∠ 2$，已知$BC=10$，$BD=6$，则点$D$到$AB$的距离为
；
(2) 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=4$，$BC=6$，$AP$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$P$，则$S_{△ ABP}:S_{△ ACP}=$
，$BP$的长为
。
答案：(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{5:4}$，$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$。
解析：
解：(1) 过点D作DE⊥AB于点E。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC。
又∵ ∠1=∠2，
∴ AD平分∠BAC，
根据角平分线的性质，得DE=DC。
∵ DC=BC-BD=10-6=4，
∴ DE=4，即点D到AB的距离为4。
(2) 过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N。
∵ AP平分∠BAC，
根据角平分线的性质，得PM=PN。
∴ $S_{△ ABP}:S_{△ ACP}=(\frac{1}{2}AB· PM):(\frac{1}{2}AC· PN)=AB:AC=5:4$。
设BP=x，则PC=6-x。
∵ △ABP和△ACP同高（以A为顶点向BC作高），
∴ $S_{△ ABP}:S_{△ ACP}=BP:PC$，
即 $x:(6-x)=5:4$，
解得 $4x=30-5x$，
$9x=30$，
$x=\frac{10}{3}$，即BP的长为$\frac{10}{3}$。
3. 如图，用直尺和圆规在直线$ l $上找到一点$ P $，使点$ P $到$ ∠ O $的两边$ OA $，$ OB $的距离相等。
答案：解：作法如下：
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
2. 分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E；
3. 作射线OE，射线OE与直线l的交点即为所求的点P。
根据角平分线的性质定理的逆定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P满足到OA、OB的距离相等。
4. 如图,在$△ ABC$中,AD是角平分线,点P在AD上,$PE// AB$,交BC于点E,$PF// AC$,交BC于点F.求证:点D到PE和PF的距离相等.
答案：证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE//AB，
∴ ∠BAD = ∠EPD。
∵ PF//AC，
∴ ∠CAD = ∠FPD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，
即PD平分∠EPF。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ 点D到PE和PF的距离相等。
