如图1-22,在△ABC中,如果AB=AC,增加一个什么条件,能使△ABC是一个等边三角形？
答案：解：本题答案不唯一，以下任意一个条件均可使△ABC成为等边三角形：
1. 添加条件：$AB=BC$
已知$AB=AC$，结合$AB=BC$可得$AB=AC=BC$，根据等边三角形的定义，$△ ABC$是等边三角形。
2. 添加条件：$∠ A=60°$
已知$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，结合$∠ A=60°$，根据“有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形”，可得$△ ABC$是等边三角形。
同理，添加$∠ B=60°$或$∠ C=60°$也可证得$△ ABC$为等边三角形。
例 求证:在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边是斜边的一半.
答案：已知：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$。
求证：$BC=\dfrac{1}{2}AB$。
证明：
延长$BC$到点$D$，使$CD=BC$，连接$AD$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD=90°$。
在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}BC=DC \\∠ ACB=∠ ACD \\AC=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AB=AD$。
$\because ∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$，
$\therefore △ ABD$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
$\therefore BD=AB$。
又$\because BD=BC+CD=2BC$，
$\therefore 2BC=AB$，
即$BC=\dfrac{1}{2}AB$。
1.（1）等边三角形的各角________.
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ \_\_\_\_\_\_=∠ \_\_\_\_\_\_=∠ \_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_°$.
（2）______的三角形是等边三角形.
$\because \_\_\_\_\_\_$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形.
（3）______的等腰三角形是等边三角形.
$\because AB=AC,∠ \_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形.
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边是________.
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°,∠ A=30°$，
$\therefore BC=\_\_\_\_\_\_$.
答案：解：
(1) 都相等，且均为$60°$
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°$.
(2) 三个角都相等
$\because △ ABC$中，$∠ A=∠ B=∠ C$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形.
(3) 有一个角是$60°$
$\because AB=AC, ∠ A = 60°$,
$\therefore △ ABC$是等边三角形.
(4) 斜边的一半
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°, ∠ A=30°$,
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$.
2. 一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是$60°$，这个三角形是(
)。
A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.有$30°$锐角的直角三角形
D.直角三角形
答案：B
解析：
三角形是轴对称图形，说明该三角形是等腰三角形；根据等边三角形的判定：有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，因此这个三角形是等边三角形。
3. (1) 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC=AC$，$AD$是中线，点$E$在边$AC$上，$AE=AD$，则$∠ EDC=$
°；
[第3(1)题]
(2) 以正方形$ABCD$的一边$CD$为边向外作等边三角形$CDE$，则$∠ AEB=$
°；
[第3(2)题]
答案：(1) $\boldsymbol{15}$；(2) $\boldsymbol{30}$
解析：
解：(1)
∵ $AB=BC=AC$，
∴ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ BAC=∠ C=60°$。
∵ $AD$是$△ ABC$的中线，
∴ $AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ ADC=90°$，$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
∵ $AE=AD$，
∴ $∠ ADE=∠ AED=\frac{180°-∠ DAC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ $∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=90°-75°=15°$。
(2)
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AD=DC=BC$，$∠ ADC=∠ BCD=90°$。
∵ $△ CDE$是等边三角形，
∴ $DC=DE=CE$，$∠ CDE=∠ DCE=∠ DEC=60°$，
∴ $AD=DE$，$BC=CE$，即$△ ADE$和$△ BCE$均为等腰三角形。
$∠ ADE=∠ ADC+∠ CDE=90°+60°=150°$，
∴ $∠ AED=\frac{180°-150°}{2}=15°$，
同理可得$∠ BEC=15°$，
∴ $∠ AEB=∠ DEC-∠ AED-∠ BEC=60°-15°-15°=30°$。
