4. 已知:如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C,点E在BC上,AB//DE,EC=CD.求证:△DEC是等边三角形.
答案：证明：
∵ AB//DE，
∴ ∠B = ∠DEC（两直线平行，同位角相等）。
又∵ ∠B = ∠C，
∴ ∠DEC = ∠C。
∴ DE = CD（等角对等边）。
∵ EC = CD，
∴ DE = EC = CD。
∴ △DEC是等边三角形。
5. 如图,在等边三角形ABC中,点D在AB上,以CD为边作等边三角形CDE,使点A,E在直线DC的同侧,连接AE.
(1) 求证:$△ BCD ≌ △ ACE$.
(2) 求证:$AE // BC$.
答案：证明：
(1) ∵ △ABC和△CDE都是等边三角形，
∴ BC = AC，CD = CE，∠BCA = ∠DCE = 60°，
∴ ∠BCA - ∠DCA = ∠DCE - ∠DCA，
即 ∠BCD = ∠ACE。
在△BCD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}BC = AC \\∠BCD = ∠ACE \\CD = CE\end{array} $
∴ △BCD ≌ △ACE（SAS）。
(2) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B = ∠ACB = 60°。
∵ △BCD ≌ △ACE，
∴ ∠EAC = ∠B = 60°，
∴ ∠EAC = ∠ACB，
∴ AE // BC（内错角相等，两直线平行）。
6. 老师给出了下面的题目:如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$P$在边$BC$上,作$PE⊥ AB$,$PF⊥ AC$,$BG⊥ AC$,垂足分别为$E,F,G$.
(1) 求证:$PE+PF=BG$.
(2) 如图②,将“在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$P$在边$BC$上”改为“$P$是等边三角形$ABC$内一点”,作$PE⊥ AB$,$PF⊥ AC$,$PM⊥ BC$,$BG⊥ AC$,垂足分别为$E,F,M,G$.有类似结论吗？请写出结论并证明.
答案：(1) 证明：
连接$AP$。
$\because PE⊥ AB$，$PF⊥ AC$，$BG⊥ AC$，
$\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· PE$，$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}AC· PF$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BG$。
又$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$，
$\therefore \frac{1}{2}AC· BG=\frac{1}{2}AB· PE+\frac{1}{2}AC· PF$。
$\because AB=AC$，等式两边同时除以$\frac{1}{2}AC$，可得：
$BG=PE+PF$，即$PE+PF=BG$。
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(2) 结论：$PE+PF+PM=BG$，证明如下：
连接$PA$、$PB$、$PC$。
$\because PE⊥ AB$，$PF⊥ AC$，$PM⊥ BC$，$BG⊥ AC$，
$\therefore S_{△ PAB}=\frac{1}{2}AB· PE$，$S_{△ PAC}=\frac{1}{2}AC· PF$，$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}BC· PM$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BG$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC=BC$。
又$\because S_{△ ABC}=S_{△ PAB}+S_{△ PAC}+S_{△ PBC}$，
$\therefore \frac{1}{2}AC· BG=\frac{1}{2}AB· PE+\frac{1}{2}AC· PF+\frac{1}{2}BC· PM$，
代入$AB=AC=BC$，等式两边同时除以$\frac{1}{2}AC$，可得：
$BG=PE+PF+PM$，即$PE+PF+PM=BG$。
