图3-2 ①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=m$，$BC=n$，已知图3-2 ①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求$(m+n)^2$；
（2）若将图3-2 ①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图3-2 ②所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（图中实线部分）为
.
答案：（1）$\boldsymbol{121}$；（2）$\boldsymbol{76}$
解析：
解：
（1）由题意，大正方形的边长为$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，根据勾股定理可得：
$m^2 + n^2 = 61$
小正方形的边长为$n-m$，因此小正方形面积满足：
$(n-m)^2 = 1$
展开得：$n^2 - 2mn + m^2 = 1$
将$m^2 + n^2 = 61$代入上式：
$61 - 2mn = 1$，解得$2mn = 60$
因此$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 61 + 60 = 121$
（2）由题意可知较长直角边$n＞m$，结合$(n-m)^2=1$得$n-m=1$，即$n=m+1$
将其代入$m^2 + n^2 = 61$，得：
$m^2 + (m+1)^2 = 61$
整理得$m^2 + m - 30 = 0$，解得正根$m=5$，对应$n=6$
将较长直角边向外延长一倍后，延长段长度为6，新的直角三角形两条直角边分别为5和$6×2=12$，由勾股定理得新斜边长为$\sqrt{5^2 + 12^2}=13$
因此风车的外围周长为$4×(13 + 6) = 76$
最终
例1 如图 3 - 3,在$△ ABC$中,$AB=AC=13,BC=10,CD ⊥ AB$,垂足为 D. 求高 CD的长.
答案：解：过点A作AE⊥BC，垂足为E。
∵ AB=AC=13，AE⊥BC，BC=10，
∴ BE = $\frac{1}{2}$BC = 5。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 13^2 - 5^2 = 144$，
∴ AE = 12。
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AE = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数值得：$\frac{1}{2} × 10 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × CD$，
化简得：$13CD = 120$，
∴ $CD = \frac{120}{13}$。
答：高CD的长为$\frac{120}{13}$。
例2 请用勾股定理证明“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”.
答案：证明：
设在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，斜边AB=A'B'，一条直角边AC=A'C'。
根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$，
$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$。
∵ $AB=A'B'$，$AC=A'C'$，
∴ $AB^2-AC^2=A'B'^2-A'C'^2$，
∴ $BC=B'C'$。
在△ABC和△A'B'C'中，
$\begin{cases}AB=A'B' \\AC=A'C' \\BC=B'C'\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'(\mathrm{SSS})$。
即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
