1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，两条直角边分别为$a,b$，斜边为$c$.
（1）已知$a=3,b=4$，则$c=$
；
（2）已知$c=13,b=5$，则$a=$
；
（3）已知$c=17,a=15$，则$b=$
；
（4）已知$a+b=14,ab=48$，则$c=$
.
答案：解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 将$a=3,b=4$代入得：
$c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
$\because c＞0$，$\therefore c=5$；
(2) 将$c=13,b=5$代入得：
$a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 5^2 = 144$，
$\because a＞0$，$\therefore a=12$；
(3) 将$c=17,a=15$代入得：
$b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 15^2 = 64$，
$\because b＞0$，$\therefore b=8$；
(4) 将$a+b=14,ab=48$代入得：
$c^2 = a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 14^2 - 2×48 = 100$，
$\because c＞0$，$\therefore c=10$。
答案依次为：$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{10}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=25$，$AC=7$，则$△ ABC$的面积为________.
答案：解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{25^2 - 7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$
$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}×7×24=84$
$\boxed{84}$
3. 如图,要修建一个育苗棚,棚宽a为2m,高b为1.5m,长d为10m.覆盖在棚顶的塑料薄膜的面积是
m².
答案：$\boldsymbol{25}$
解析：
解：
由勾股定理，得直角三角形的斜边$c$满足：
$c^2 = a^2 + b^2 = 2^2 + 1.5^2 = 4 + 2.25 = 6.25$
因此$c = 2.5\ \mathrm{m}$
塑料薄膜的面积为 $c · d = 2.5 × 10 = 25\ \mathrm{m}^2$
最终
4. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，$AB=AC=5$，$BC=6$. $AD=$
，$△ ABC$的面积为
.
答案：$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{12}$
解析：
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，BC=6，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = 3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
代入AB=5，BD=3，得
$AD^2 = 5^2 - 3^2 = 16$，
∴AD=4。
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
5. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为
.
答案：解：分两种情况讨论：
① 当3和4均为直角边长时，设第三边长为x，
由勾股定理得：$x^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
∵x＞0，∴$x=5$；
② 当斜边长为4，一条直角边长为3时，设第三边长为x，
由勾股定理得：$x^2 + 3^2 = 4^2$，即$x^2 = 16 - 9 = 7$，
∵x＞0，∴$x=\sqrt{7}$。
综上，第三边的长为$5$或$\sqrt{7}$。
6. 我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称为“无字证明”.如图是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形.
（1）图①可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容.
（2）已知直角三角形的直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$,图①、图②的面积相等,请你根据图形证明(1)中的定理.
答案：解：
(1) 该图形可以用来证明勾股定理。
定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(2) 分别计算两个图形的面积：
图①的面积：$S_1 = a^2 + b^2 + 3×\frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + \frac{3}{2}ab$
图②的面积：$S_2 = c^2 + 3×\frac{1}{2}ab = c^2 + \frac{3}{2}ab$
已知图①、图②的面积相等，即$S_1 = S_2$，
因此：
$a^2 + b^2 + \frac{3}{2}ab = c^2 + \frac{3}{2}ab$
等式两边同时减去$\frac{3}{2}ab$，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
由此证明勾股定理成立。
