如图3-6,在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,且AB=AC.由于某种原因,C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=1.5 km,CH=1.2 km,HB=0.9 km.CH是否为从村庄C到河边的最近路?如果是,新路CH比原路CA短多少千米?
答案：解：
在△CHB中，
∵ $CH^2 + HB^2 = 1.2^2 + 0.9^2 = 1.44 + 0.81 = 2.25$，
$CB^2 = 1.5^2 = 2.25$，
∴ $CH^2 + HB^2 = CB^2$，
∴ △CHB是直角三角形，且$∠ CHB = 90°$，
∴ $CH ⊥ AB$。
根据垂线段最短的性质，可知CH是从村庄C到河边的最近路。
设$AC = x\ \mathrm{km}$，
∵ $AB = AC$，
∴ $AB = x\ \mathrm{km}$，
∴ $AH = AB - HB = (x - 0.9)\ \mathrm{km}$。
在Rt△ACH中，由勾股定理得：
$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
即 $x^2 = (x - 0.9)^2 + 1.2^2$，
展开得 $x^2 = x^2 - 1.8x + 0.81 + 1.44$，
整理得 $1.8x = 2.25$，
解得 $x = 1.25$。
∴ $CA - CH = 1.25 - 1.2 = 0.05\ (\mathrm{km})$。
答：CH是从村庄C到河边的最近路，新路CH比原路CA短0.05千米。
例1 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题.如图3-7,有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
图3-7
答案：解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为(x+1)尺。
由题意得，水池正中央到岸边的水平距离为10÷2=5尺，
根据勾股定理，得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开整理得：$2x=24$
解得：$x=12$
则芦苇的长度为$x+1=12+1=13$（尺）。
答：这个水池的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺。
例2 某校修建如图3-8 ①所示的自行车棚，钢架已完成。现需要在棚顶覆盖铁皮，图3-8 ②是自行车棚顶的示意图。
已知$AD=BD$，$DC⊥ AB$，垂足为$C$，棚宽$AB=6\ \mathrm{m}$，棚高$DC=1.6\ \mathrm{m}$，棚长$BE=20\ \mathrm{m}$，求覆盖一个车棚顶需要的铁皮面积（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮）。
答案：解：
∵ $AD=BD$，$DC⊥ AB$，
∴ $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+DC^2=3^2+1.6^2=9+2.56=11.56$
∴ $BD=3.4\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=BD=3.4\ \mathrm{m}$。
由题意可知，车棚顶铁皮由两个长为$BE=20\ \mathrm{m}$，宽分别为$AD$、$BD$的长方形组成，因此铁皮总面积：
$S=AD· BE + BD· BE=3.4×20 + 3.4×20=136\ \mathrm{m^2}$
答：覆盖一个车棚顶需要的铁皮面积为$\boldsymbol{136\ \mathrm{m^2}}$。
