例1 如图3-10，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以点B为圆心，BC为半径画弧，交边AB于点D，以点A为圆心，AD为半径画弧，交边AC于点E，连接CD.
（1）已知$∠ A=25°$，求$∠ ACD$的度数；
（2）已知$BC=2.5$，$CE=2$，求$AD$的长.
图3-10
答案：解：
(1) 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 65°$。
由作图可知$BD=BC$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ BDC = \frac{180° - ∠ B}{2} = \frac{180° - 65°}{2} = 57.5°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 57.5° = 32.5°$。
(2) 设$AD = x$，
由作图可知$AE=AD=x$，$BD=BC=2.5$，
$\therefore AC = AE + CE = x + 2$，$AB = AD + BD = x + 2.5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入得：$(x+2)^2 + 2.5^2 = (x+2.5)^2$，
展开整理得：$x^2 +4x + 10.25 = x^2 +5x +6.25$，
解得：$x=4$。
答：$AD$的长为4。
例2 如图3-11，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB与∠ECD为直角，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：$AE^2+AD^2=2AC^2$.(提示：连接BD)
图3-11
答案：证明：连接BD。
∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ CE=CD，AC=BC，
∠ECA + ∠ACD = 90°，∠DCB + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ECA = ∠DCB。
在△ECA和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}CE=CD \\∠ECA=∠DCB \\AC=BC\end{array} $
∴ △ECA ≌ △DCB（SAS），
∴ AE = BD，∠E = ∠CDB。
∵ △ECD是等腰直角三角形，
∴ ∠E = ∠CDE = 45°，
∴ ∠CDB = 45°，
∴ ∠ADB = ∠CDE + ∠CDB = 45° + 45° = 90°，
即△ADB为直角三角形。
由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∵ AE = BD，
∴ $AE^2 + AD^2 = AB^2$。
又∵ 在等腰Rt△ACB中，由勾股定理得$AB^2 = AC^2 + BC^2$，且AC=BC，
∴ $AB^2 = 2AC^2$，
∴ $AE^2 + AD^2 = 2AC^2$。
1. 已知甲、乙从同一地点出发，甲往东走了4 km，乙往南走了3 km，这时甲、乙相距
km.
答案：$\boldsymbol{5}$
解析：
解：由题意可知，向东方向与向南方向互相垂直，甲、乙两人的位置和出发点构成直角三角形，该直角三角形的两条直角边长分别为4 km和3 km。
根据勾股定理，甲、乙的距离为$\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{km}$。
2. 在$△ ABC$中，$AB=20$，$AC=15$，边$BC$上的高为$12$，则$△ ABC$的面积为
。
答案：解：设边BC上的高为AD，AD⊥BC于点D，AD=12。
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$，
在Rt△ACD中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
∴ $BC=BD+CD=16+9=25$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×25×12=150$。
② 当高AD在△ABC外部时，点D在BC的延长线上：
$BC=BD-CD=16-9=7$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×12=42$。
综上，△ABC的面积为150或42。
3. 如图,两个阴影部分都是正方形,两个正方形的面积之比为$1:2$,则这两个正方形的面积分别是
.
答案：解：
由勾股定理，得两个阴影正方形所在直角三角形的斜边的平方为：
$10^2 - 8^2 = 36$
即两个阴影正方形的面积之和为36。
设较小的正方形面积为$k$，则较大的正方形面积为$2k$，根据题意得：
$k + 2k = 36$
解得$k=12$，则$2k=24$。
所以这两个正方形的面积分别是12和24。
4. 如图，$BC=1$，$AB=2$，$AF=3$，则正方形$CDEF$的边长为
。
答案：$\sqrt{14}$
解析：
解：
在Rt△ABC中，∠B=90°，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 1^2 = 5$
在Rt△AFC中，∠FAC=90°，根据勾股定理：
$FC^2 = AF^2 + AC^2 = 3^2 + 5 = 14$
因为四边形CDEF是正方形，所以它的边长为$FC=\sqrt{14}$。
