4. 如图,在四边形ABCD中,各个顶点的坐标分别是$(-2,8),(-11,6),(-14,0),(0,0)$.
(1) 求四边形ABCD的面积.
(2) 如果各个顶点的纵坐标保持不变,横坐标增加2,所得的四边形面积是多少?
(3) 你有什么发现?
答案：解：
(1) 过点A作$AE ⊥ x$轴，垂足为E，过点B作$BF ⊥ x$轴，垂足为F。
由各顶点坐标可得：
$CF = |-11 - (-14)| = 3$，$BF = 6$，
$EF = |-2 - (-11)| = 9$，$AE = 8$，
$ED = |0 - (-2)| = 2$。
四边形ABCD的面积为：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=S_{△ BCF}+S_{\mathrm{梯形}ABFE}+S_{△ AED}\\&=\frac{1}{2} × 3 × 6 + \frac{1}{2} × (6+8) × 9 + \frac{1}{2} × 2 × 8\\&=9 + 63 + 8\\&=80\end{aligned}$
(2) 各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，相当于将四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位，平移不改变图形的形状和大小，因此所得四边形的面积为80。
(3) 发现：将图形沿x轴方向平移，图形的面积保持不变，平移变换不改变图形的形状与大小。
5. 在平面直角坐标系中，对于点$P(a,b)$和$Q(c,d)$，给出如下的定义：点$P(a,b),Q(c,d)$的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个(若它们相等，则取其中任意一个)称为$P,Q$两点的“近距”，记为$d(P,Q)$.即：若$|a−c|≤|b−d|$，则$d(P,Q)=|a−c|$；若$|a−c|＞|b−d|$，则$d(P,Q)=|b−d|$.
(1) 请你直接写出$A(−3,0),B(−1,4)$的“近距”$d(A,B)=$
.
(2) 在条件(1)下，将线段$AB$向右平移4个单位长度至线段$CD$，其中点$A,B$分别对应点$C,D$.若在坐标轴上存在点$E$，使$d(D,E)=\sqrt{2}$，请求出点$E$的坐标.
答案：解：
(1) 对于$A(-3,0)$，$B(-1,4)$，
$|-3 - (-1)|=2$，$|0-4|=4$，
因为$2＜4$，所以$d(A,B)=2$。
(2) 线段$AB$向右平移4个单位长度，点$B(-1,4)$平移后得到点$D$，
则$D$的坐标为$(-1+4,4)$，即$D(3,4)$。
分两种情况讨论点$E$的位置：
① 当点$E$在$x$轴上时，设$E(x,0)$，
横坐标差的绝对值为$|x-3|$，纵坐标差的绝对值为$|4-0|=4$。
若$|x-3|≤4$，则$d(D,E)=|x-3|=\sqrt{2}$，
解得$x=3+\sqrt{2}$或$x=3-\sqrt{2}$，均满足$|x-3|≤4$；
若$|x-3|＞4$，则$d(D,E)=4≠\sqrt{2}$，不符合要求。
此时$E$的坐标为$(3+\sqrt{2},0)$，$(3-\sqrt{2},0)$。
② 当点$E$在$y$轴上时，设$E(0,y)$，
横坐标差的绝对值为$|0-3|=3$，纵坐标差的绝对值为$|y-4|$。
若$3＞|y-4|$，则$d(D,E)=|y-4|=\sqrt{2}$，
解得$y=4+\sqrt{2}$或$y=4-\sqrt{2}$，均满足$3＞|y-4|$；
若$3≤|y-4|$，则$d(D,E)=3≠\sqrt{2}$，不符合要求。
此时$E$的坐标为$(0,4+\sqrt{2})$，$(0,4-\sqrt{2})$。
综上，点$E$的坐标为$(3+\sqrt{2},0)$、$(3-\sqrt{2},0)$、$(0,4+\sqrt{2})$、$(0,4-\sqrt{2})$。
