例3 △ABC在平面直角坐标系中的位置如图4-14所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度.
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，画出平移后的△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁各顶点的坐标.
（2）将△ABC绕点(-1,0)按顺时针方向旋转180°，画出旋转后的△A₂B₂C₂，并写出△A₂B₂C₂各顶点的坐标.
（3）观察△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂，它们是否关于某点成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.
解析：
【分析】
解题首先先确定原△ABC三个顶点的坐标：观察网格可得A(-2,3)、B(-4,2)、C(-3,1)。
1. 解决平移问题：向右平移2个单位长度，遵循“横坐标加2，纵坐标不变”的平移坐标变化规律，即可算出平移后各顶点坐标，描点连线得到平移后的图形。
2. 解决旋转180°问题：绕定点旋转180°本质是关于该定点成中心对称，对应点连线的中点为旋转中心，根据中点坐标公式反推即可得到旋转后各顶点的坐标，描点连线得到旋转后的图形。
3. 解决中心对称判定问题：若两个图形成中心对称，则所有对应点连线的中点为同一个对称中心，只需计算三组对应点连线的中点，判断是否为同一点即可。
【解析】
首先确定原△ABC各顶点坐标：A(-2,3)，B(-4,2)，C(-3,1)。
（1）将△ABC向右平移2个单位长度，横坐标加2，纵坐标不变：
A₁的坐标：$-2+2=0$，纵坐标为3，即$A_1(0,3)$；
B₁的坐标：$-4+2=-2$，纵坐标为2，即$B_1(-2,2)$；
C₁的坐标：$-3+2=-1$，纵坐标为1，即$C_1(-1,1)$；
在坐标系中描出三个点后顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
（2）绕点(-1,0)顺时针旋转180°，设原点点坐标为$(x,y)$，旋转后对应点坐标为$(x',y')$，根据中点坐标公式可得：$\frac{x+x'}{2}=-1$，$\frac{y+y'}{2}=0$，推导得$x'=-2-x$，$y'=-y$：
A₂的坐标：$x'=-2-(-2)=0$，$y'=-3$，即$A_2(0,-3)$；
B₂的坐标：$x'=-2-(-4)=2$，$y'=-2$，即$B_2(2,-2)$；
C₂的坐标：$x'=-2-(-3)=1$，$y'=-1$，即$C_2(1,-1)$；
在坐标系中描出三个点后顺次连接，即可得到△A₂B₂C₂。
（3）计算三组对应点连线的中点：
$A_1(0,3)$与$A_2(0,-3)$的中点：$(\frac{0+0}{2},\frac{3+(-3)}{2})=(0,0)$；
$B_1(-2,2)$与$B_2(2,-2)$的中点：$(\frac{-2+2}{2},\frac{2+(-2)}{2})=(0,0)$；
$C_1(-1,1)$与$C_2(1,-1)$的中点：$(\frac{-1+1}{2},\frac{1+(-1)}{2})=(0,0)$；
所有对应点连线的中点均为$(0,0)$，说明两个三角形关于该点成中心对称。
【答案】
（1）$A_1(0,3)$，$B_1(-2,2)$，$C_1(-1,1)$，图略；
（2）$A_2(0,-3)$，$B_2(2,-2)$，$C_2(1,-1)$，图略；
（3）是，对称中心的坐标为$(0,0)$。
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与旋转变换，中心对称判定
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中图形的平移、旋转以及中心对称的相关知识，核心是掌握不同变换对应的坐标变化规律，解题时注意找准变换参照点，计算坐标时避免符号错误。
【难度系数】
0.7
