14. 已知:如图,点E,C在线段BF上,BE=CF.有下列四个等式:① $AB=DE$;② $∠ ACB=∠ F$;③ $∠ A=∠ D$;④ $AC=DF$.选出两个作为条件,推出$△ ABC≌△ DEF$,并说明理由(写出一种即可).
已知:
,
.
求证: $△ ABC≌△ DEF$.
答案：已知：$AB=DE$，$AC=DF$。
证明：
∵ 点$E$，$C$在线段$BF$上，$BE=CF$，
∴ $BE+EC=CF+EC$，
即 $BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AB=DE \\BC=EF \\AC=DF\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SSS})$。
（注：也可选择其他合法条件组合，如②③、②④、①③，对应使用AAS、ASA、AAS判定全等，证明逻辑同理。）
解析：
【分析】
要证明$△ ABC≌△ DEF$，首先处理题目给出的$BE=CF$这一条件：观察线段BF上的点，可得$BE+EC=BC$、$CF+EC=EF$，因此可以先推出$BC=EF$，得到一组对应边相等。接下来只需根据全等三角形的判定定理，从四个等式中选择两个合适的条件，和$BC=EF$组合成符合判定要求的条件即可。以选择①$AB=DE$、④$AC=DF$为例，两组边对应相等加上推导得到的$BC=EF$，刚好符合SSS全等判定条件，可完成证明。
【解析】
已知：$AB=DE$，$AC=DF$。
证明：
∵ 点$E$，$C$在线段$BF$上，$BE=CF$，
∴ $BE+EC=CF+EC$，
即 $BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AB=DE \\BC=EF \\AC=DF\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SSS})$。
（注：也可选择其他合法条件组合：选②③可通过AAS判定、选②④可通过SAS判定、选①③可通过AAS判定，证明逻辑一致。）
【答案】
已知：$\boldsymbol{AB=DE}$，$\boldsymbol{AC=DF}$（答案不唯一），可证$△ ABC≌△ DEF$，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定、线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形判定的开放类题型，重点考查对全等判定定理的掌握和灵活运用能力。解题时需先将已知的$BE=CF$转化为两个三角形的对应边$BC=EF$，再结合判定定理选择符合要求的条件，注意避开"SSA"这类无法判定三角形全等的条件组合。
【难度系数】
0.7
15. 如图，AB=AC，AD=AE. ∠BAD与∠CAE相等吗？为什么？
答案：解：∠BAD与∠CAE相等，理由如下：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C。
∵ AD=AE，
∴ ∠ADE=∠AED，
∴ 180°-∠ADE = 180°-∠AED，即∠ADB=∠AEC。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\∠ADB=∠AEC \\AB=AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（AAS），
∴ ∠BAD=∠CAE。
解析：
【分析】
要判断∠BAD与∠CAE是否相等，可观察两个角分别在△ABD和△ACE中，通过证明两个三角形全等推导对应角相等。首先利用已知的两组等边，结合等腰三角形“等边对等角”的性质，先得到△ABC的底角∠B=∠C，再得到△ADE的底角∠ADE=∠AED，利用补角的性质推出∠ADB=∠AEC，此时△ABD和△ACE中已有两组角相等，再加已知边AB=AC，即可用AAS判定三角形全等，进而得到待证的角相等。
【解析】
∠BAD与∠CAE相等，理由如下：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等边对等角）。
∵ AD=AE，
∴ ∠ADE=∠AED（等边对等角），
∴ 180°-∠ADE = 180°-∠AED，即∠ADB=∠AEC。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\∠ADB=∠AEC \\AB=AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（AAS），
∴ ∠BAD=∠CAE（全等三角形对应角相等）。
【答案】
∠BAD与∠CAE相等。
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.全等三角形的AAS判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质得到角的相等关系，再结合全等三角形的判定定理推导待证结论，需要注意观察待证角所在的三角形，快速找到全等的判定条件。
【难度系数】
0.8
16. 如图，在$8×8$的方格纸中，我们把像$△ ABC$这样的三个顶点都在网格格点上的三角形称为格点三角形.
（1）试在图①方格纸上画出两个与$△ ABC$只有一个公共顶点C且全等的三角形；
（2）试在图②方格纸上画出与$△ ABC$只有一条公共边AB且全等的所有三角形.
答案：解：
设每个小方格的边长为1，由勾股定理可得△ABC的三边长分别为：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=2$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
（1）在图①中选取两组不与点A、B重合的格点$(A_1,B_1)$和$(A_2,B_2)$，满足$CA_1=\sqrt{2}$，$CB_1=\sqrt{10}$，$A_1B_1=2$；$CA_2=\sqrt{2}$，$CB_2=\sqrt{10}$，$A_2B_2=2$，顺次连接对应边得到$△ CA_1B_1$和$△ CA_2B_2$。两个三角形仅与$△ ABC$有公共顶点C，根据SSS全等判定，所作三角形与$△ ABC$全等，满足题意，画法不唯一。
（2）在图②中，以AB为公共边，共可找到3个符合条件的格点，顺次连接AB与这3个格点得到3个三角形，三个三角形的三边长度均对应等于$\sqrt{2}$、2、$\sqrt{10}$，根据SSS全等判定，全部与$△ ABC$全等，且仅与$△ ABC$有公共边AB，即为所有符合要求的三角形。
解析：
【分析】
要解决格点全等三角形作图问题，核心依据是全等三角形SSS（三边对应相等）的判定定理，首先需要计算原三角形的三边长作为作图参照。对于（1）问，要求仅和△ABC有公共顶点C，因此固定点C，只需找到两组格点，使得从C引出的两条线段长度分别等于AC、BC的长，且两个新格点的间距等于AB的长，同时新格点不与A、B重合即可。对于（2）问，要求仅和△ABC有公共边AB，因此固定边AB，只需寻找所有符合条件的格点作为第三个顶点，保证该点到A、B的距离对应等于原三角形的另两边长，且除AB外与原三角形无其他公共元素，找全所有符合条件的点即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，根据勾股定理计算△ABC的三边长：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=2$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
（1）在图①中固定点C，选取两组不与A、B重合的格点$A_1,B_1$和$A_2,B_2$，满足$CA_1=\sqrt{2}$，$CB_1=\sqrt{10}$，$A_1B_1=2$；$CA_2=\sqrt{2}$，$CB_2=\sqrt{10}$，$A_2B_2=2$，分别顺次连接$C、A_1、B_1$和$C、A_2、B_2$，所得的$△ CA_1B_1$和$△ CA_2B_2$即为所求，画法不唯一。
（2）在图②中固定边AB，寻找所有满足到A、B的距离对应等于$\sqrt{2}$和$\sqrt{10}$的格点（排除原三角形的点C），共可找到3个符合条件的格点，分别将这3个格点与A、B顺次连接，所得的3个三角形即为所有符合要求的三角形。
【答案】
（1）画法不唯一，所作三角形与△ABC仅公共顶点C且全等即可，图略；
（2）共3个符合要求的三角形，图略。
【知识点】
勾股定理；全等三角形判定；格点作图
【点评】
本题结合格点背景考查全等三角形的作图，解题关键是先通过勾股定理确定原三角形的三边长度，再结合SSS全等判定条件寻找对应格点，作图时需注意题干对公共元素的限制，避免多画或漏画不符合要求的图形。
【难度系数】
0.7
