答案：解：
连接CE，以CE为边向外作正方形，该正方形即为所求。
（原理：由勾股定理，在Rt△CBE中，∠CBE=90°，得$CE^2=BC^2+BE^2$，因此所作正方形的面积等于正方形ABCD与正方形BEFG的面积之和）

答案：证明：
连接AC。
∵ $△ ABE ≌ △ BCD$，
∴ $AB = BC$，$AE = BD$，$BE = CD$，$∠ ABE = ∠ BCD$。
∵ $BD ⊥ CD$，
∴ $∠ BDC = 90°$，
∴ $∠ BCD + ∠ CBD = 90°$，
∴ $∠ ABE + ∠ CBD = 90°$，即$∠ ABC = 90°$。
∵ $AE ⊥ BD$，
∴ 四边形$ABCD$的面积可表示为：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = \frac{1}{2} BD · AE + \frac{1}{2} BD · CD$
将$AE=BD$，$CD=BE$代入，得：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = \frac{1}{2} AE^2 + \frac{1}{2} AE · BE$
同时四边形$ABCD$的面积也可表示为：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ADC} = \frac{1}{2} AB · BC + \frac{1}{2} CD · (BD - BE)$
将$AB=BC$，$CD=BE$，$BD=AE$代入，得：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} BE · (AE - BE) = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} AE · BE - \frac{1}{2} BE^2$
因此可得等式：
$\frac{1}{2} AE^2 + \frac{1}{2} AE · BE = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} AE · BE - \frac{1}{2} BE^2$
两边同乘2，消去等式两侧的$AE · BE$项，整理得：
$AE^2 = AB^2 - BE^2$
即 $AB^2 = BE^2 + AE^2$。

答案：第18题解答
解：
(1) 当$n=6$时，$a=6^2-1$，$b=12$，$c=6^2+1$，依次填入对应表格即可。
(2) $a=\boldsymbol{n^2-1}$，$b=\boldsymbol{2n}$，$c=\boldsymbol{n^2+1}$。
(3) 以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形，证明如下：
$\begin{aligned}a^2+b^2&=(n^2-1)^2+(2n)^2\\&=n^4-2n^2+1+4n^2\\&=n^4+2n^2+1\end{aligned}$
又$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$，因此$a^2+b^2=c^2$。
根据勾股定理的逆定理，以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形。
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附加题解答
解：
【探索新知】大正方形边长为$a+b$，因此等式为：$\boldsymbol{(a+b)^2 = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab}$。
【初步运用】
(1) 若$b=2a$，则大正方形面积为$(a+b)^2=(3a)^2=9a^2$，小正方形面积为$c^2=a^2+b^2=a^2+4a^2=5a^2$，因此小正方形面积$:$大正方形面积$=\boldsymbol{5:9}$。
(2) 当$a=4,b=6$时，$c^2=a^2+b^2=16+36=52$，空白部分面积$=c^2 - 2×\frac{1}{2}ab=52-24=\boldsymbol{28}$。
【迁移运用】
等量关系式：$\boldsymbol{a^2 + b^2 - ab = c^2}$，推导过程如下：
边长为$a+b$的大等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2$，该面积等于边长为$c$的小等边三角形面积与3个全等的含$60°$的三角形面积之和。
由知识补充，含$60°$的直角三角形对边$y=kx$，因此两边为$a,b$、夹角为$60°$的三角形面积为$\frac{1}{2}ab· k$，边长为$c$的等边三角形面积为$\frac{1}{2}kc^2$，边长为$a+b$的大等边三角形面积为$\frac{1}{2}k(a+b)^2$。
列面积等式：
$\frac{1}{2}k(a+b)^2 = \frac{1}{2}kc^2 + 3×\frac{1}{2}kab$
两边同时除以$\frac{1}{2}k$，得：
$(a+b)^2 = c^2 + 3ab$
展开整理得：$a^2 + b^2 - ab = c^2$。