12. 如图，分别以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边作正三角形，已知$AC=6$，$AB=10$，阴影部分的面积分别记为$S_1,S_2,S_3$，则$S_1+S_3-S_2$的值为
。
答案：$\boldsymbol{0}$
解析：
解：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
边长为$a$的正三角形的面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，因此：
$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}AC^2,\quad S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}BC^2,\quad S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2$
代入得：
$\begin{aligned}S_1+S_3-S_2&=\frac{\sqrt{3}}{4}(AC^2 + BC^2 - AB^2)\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}×0\\&=0\end{aligned}$
三、解答题
13. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$.
（1）已知$BC=5$，$AB=13$，求$AC$的长；
（2）若斜边$AB$上的高为$CD$，求$CD$的长.
答案：解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将$BC=5$，$AB=13$代入，得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
(2) 根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$
因此有$AC· BC = AB· CD$，代入$AC=12$，$BC=5$，$AB=13$，得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12×5}{13}=\frac{60}{13}$
14.《九章算术》勾股章中有一题:“今有两人同立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙相会.问甲乙行各几何?”大意是:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇,甲、乙各走了多少步?请你解答这个问题.
答案：解：设从出发到相遇两人行走的时间为$ x $，
则相遇时乙走的路程为$ 3x $步，甲走的总路程为$ 7x $步。
甲向南走10步后，斜向北偏东行走的路程为$ (7x-10) $步，
由题意可知，出发点、甲向南走10步的位置、相遇点三点构成直角三角形，两条直角边分别为10步、$ 3x $步，斜边为$ (7x-10) $步。
根据勾股定理得：
$10^2 + (3x)^2 = (7x - 10)^2$
展开整理：
$100 + 9x^2 = 49x^2 - 140x + 100$
$40x^2 - 140x = 0$
解得$ x_1 = 3.5 $，$ x_2 = 0 $（不符合题意，舍去）。
则乙走的步数为：$ 3x = 3 × 3.5 = 10.5 $
甲走的步数为：$ 7x = 7 × 3.5 = 24.5 $
答：甲走了24.5步，乙走了10.5步。
15. 在$△ ABC$中，$AB=20$，$AC=13$，高$AD=12$，求$△ ABC$的面积.
答案：解：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ADB、△ADC均为直角三角形。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 20^2 - 12^2 = 256$，
∴$BD = 16$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 25$，
∴$CD = 5$。
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，$BC = BD + CD = 16 + 5 = 21$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 21 × 12 = 126$；
② 当高AD在△ABC外部时，点D在BC的延长线上，$BC = BD - CD = 16 - 5 = 11$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 11 × 12 = 66$。
答：△ABC的面积为126或66。
