【分析】
解题时首先明确△ABC是直角三角形，符合勾股定理，可得三边的平方关系。正三角形面积公式为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），因此以直角三角形三边为边的正三角形满足：两直角边对应正三角形面积之和等于斜边对应正三角形面积。再分析阴影面积与对应正三角形面积的关系，发现计算$S_1+S_3-S_2$时重叠的空白部分会完全抵消，结合上述面积关系即可求出结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$AB=10$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
设以$AC$为边的正三角形面积为$S_{AC}$，以$BC$为边的正三角形面积为$S_{BC}$，以$AB$为边的正三角形面积为$S_{AB}$，根据正三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长）可得：
$S_{AC}=\frac{\sqrt{3}}{4}× AC^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×6^2=9\sqrt{3}$
$S_{BC}=\frac{\sqrt{3}}{4}× BC^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×8^2=16\sqrt{3}$
$S_{AB}=\frac{\sqrt{3}}{4}× AB^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×10^2=25\sqrt{3}$
因此$S_{AC}+S_{BC}=9\sqrt{3}+16\sqrt{3}=25\sqrt{3}=S_{AB}$。
设左侧正三角形与中间区域重叠的空白面积为$m$，右侧正三角形与中间区域重叠的空白面积为$n$，则：
$S_1=S_{AC}-m$，$S_3=S_{BC}-n$，$S_2=S_{AB}-m-n$
代入$S_1+S_3-S_2$得：
$\begin{aligned}S_1+S_3-S_2&=(S_{AC}-m)+(S_{BC}-n)-(S_{AB}-m-n)\\&=S_{AC}+S_{BC}-S_{AB}\\&=25\sqrt{3}-25\sqrt{3}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
勾股定理，正三角形面积计算
【点评】
本题不需要单独计算各阴影部分的面积，核心是利用勾股定理推导三边对应正三角形的面积关系，再通过抵消重叠空白部分简化运算，解题思路灵活，能很好地考查对图形面积关系的分析能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）第一问已知直角三角形的斜边和一条直角边的长度，求另一条直角边，可直接运用勾股定理求解：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，将公式变形为求直角边的形式，代入数值计算即可。
（2）第二问求斜边上的高，可利用等面积法：同一个三角形的面积可以用不同的底和高计算，本题中△ABC的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边与斜边上高乘积的一半计算，两个面积表达式相等，代入已知数值即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将$BC=5$，$AB=13$代入，得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
(2) 根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$
因此有$AC· BC = AB· CD$，代入$AC=12$，$BC=5$，$AB=13$，得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12×5}{13}=\frac{60}{13}$
【答案】
（1）$AC$的长为$12$；（2）$CD$的长为$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是直角三角形相关计算的基础题型，既考查了勾股定理的直接应用，也考查了等面积法求线段长度的思路，这两种方法是解决直角三角形计算问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85

【分析】
这是一道结合行程问题的勾股定理应用题，解题思路如下：第一步，先设两人从出发到相遇的行走时间为未知数$x$，根据“路程=速度×时间”，分别用含$x$的式子表示出乙行走的总路程、甲行走的总路程，再求出甲斜向行走的路程；第二步，结合题意分析可知，出发点、甲向南走10步的位置、相遇点三点刚好构成直角三角形，两条直角边分别是甲向南走的10步、乙向东走的路程，斜边是甲斜向行走的路程；第三步，根据勾股定理列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，最后代入计算甲乙各自走的步数即可。
【解析】
解：设从出发到相遇两人行走的时间为$ x $，
则相遇时乙走的路程为$ 3x $步，甲走的总路程为$ 7x $步。
甲向南走10步后，斜向北偏东行走的路程为$ (7x-10) $步，
由题意可知，出发点、甲向南走10步的位置、相遇点三点构成直角三角形，两条直角边分别为10步、$ 3x $步，斜边为$ (7x-10) $步。
根据勾股定理得：
$10^2 + (3x)^2 = (7x - 10)^2$
展开整理：
$100 + 9x^2 = 49x^2 - 140x + 100$
$40x^2 - 140x = 0$
解得$ x_1 = 3.5 $，$ x_2 = 0 $（不符合题意，舍去）。
则乙走的步数为：$ 3x = 3 × 3.5 = 10.5 $
甲走的步数为：$ 7x = 7 × 3.5 = 24.5 $
【答案】
甲走了24.5步，乙走了10.5步。
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程求解；行程问题公式
【点评】
本题以《九章算术》的经典问题为背景，将几何知识与代数方程结合考查，解题的关键是从实际场景中抽象出直角三角形模型，列方程求解后要注意验证根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先由AD是△ABC的高，可知△ADB和△ADC都是直角三角形，可先利用勾股定理分别求出BD、CD的长度。需要注意的是，三角形的高可能在三角形内部（对应锐角三角形），也可能在三角形外部（对应钝角三角形），因此要分两种情况计算底边BC的长度，最后代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ADB、△ADC均为直角三角形。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 20^2 - 12^2 = 256$，
∴$BD = 16$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 25$，
∴$CD = 5$。
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，$BC = BD + CD = 16 + 5 = 21$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 21 × 12 = 126$；
② 当高AD在△ABC外部时，点D在BC的延长线上，$BC = BD - CD = 16 - 5 = 11$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 11 × 12 = 66$。
【答案】
126或66
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略高在三角形外部的情况，仅得到一种结果，解题时要考虑周全，结合三角形的不同类型分析高的位置，避免漏解，同时也考察了勾股定理在直角三角形中的应用能力。
【难度系数】
0.6