一、选择题
1. 已知一个直角三角形的两边长分别为3,4,则第三边的平方是(
).
A.25
B.5
C.7
D.7或25
答案：D
解析：
分两种情况用勾股定理计算：①若3和4均为直角边，则第三边为斜边，其平方为$3^2+4^2=25$；②若4为斜边，3为直角边，则第三边的平方为$4^2-3^2=7$。因此第三边的平方是7或25。
2. 在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的度数之比为$1:2:3$，则对应边$a,b,c$的关系为（
）.
A.$a:b:c=3:4:5$
B.$3a=2b=c$
C.$a^2+b^2=c^2$
D.$a:b:c=4:5:6$
答案：C
解析：
根据三角形内角和为180°，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，可得x+2x+3x=180°，解得x=30°，因此∠C=90°，△ABC是直角三角形，其中c为斜边。根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$，其余选项均不符合该直角三角形的边长关系。
3. 在锐角三角形ABC中,三边a,b,c(c为最大边)的关系为(
).
A.$a^2 + b^2 ＞ c^2$
B.$a^2 + b^2 = c^2$
C.$a^2 + b^2 ＜ c^2$
D.$a^2 + b^2 = ac + bc$
答案：A
解析：
在锐角三角形ABC中，c是最大边，因此c所对的∠C是三角形的最大角，且∠C为锐角。过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，则BD=a-x。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2 = b^2 - x^2$；
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2 = c^2 - (a-x)^2$。
联立两式得：$b^2 - x^2 = c^2 - a^2 + 2ax - x^2$，整理得$a^2 + b^2 = c^2 + 2ax$。
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，因此$a^2 + b^2 ＞ c^2$。
选项B是直角三角形的三边关系，选项C是钝角三角形（c为最大边）的三边关系，选项D不恒成立。
4. 直角三角形的两条直角边分别为$a,b$,斜边上的高为$h$,下列各式中,正确的是(
).
A.$ab=h^2$
B.$a^2+b^2=h^2$
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{h}$
D.$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
答案：D
解析：
设直角三角形斜边为$c$，
1. 由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$；
2. 由直角三角形面积的两种表示方法：$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$，可得$ab = ch$，即$c=\frac{ab}{h}$；
3. 将$c=\frac{ab}{h}$代入勾股定理的式子：
$a^2 + b^2 = (\frac{ab}{h})^2 = \frac{a^2b^2}{h^2}$，
等式两边同时除以$a^2b^2$，得：
$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{h^2}$，即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$。
逐一验证选项A、B、C均不成立，只有D正确。
二、填空题
5. 直角边长分别为3和4的直角三角形的斜边长为
。
答案：$\boldsymbol{5}$
解析：
解：设该直角三角形的斜边长为$c$，
根据勾股定理可得：
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
由于三角形边长为正数，因此$c = \sqrt{25} = 5$。
6. 已知等腰三角形中相等的两边长为10 cm，第三边长为16 cm，则底边上的高为
cm.
答案：$\boldsymbol{6}$
解析：
解：
设该等腰三角形为△ABC，AB=AC=10 cm，底边BC=16 cm，过点A作AD⊥BC于点D。
由等腰三角形三线合一的性质，得：
BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2} × 16$ = 8 cm
在Rt△ABD中，由勾股定理：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
代入数值计算得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$ cm
7. 如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形. 其中，最大的正方形的边长为7，则正方形 A,B,C,D 的面积之和为
.
（第7题）
答案：$\boldsymbol{49}$
解析：
解：
由勾股定理可知，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
因为正方形的面积等于对应边长的平方，因此：
正方形A与B的面积之和，等于以A、B所夹直角三角形的斜边为边长的正方形的面积；
正方形C与D的面积之和，等于以C、D所夹直角三角形的斜边为边长的正方形的面积。
上述两个中等正方形的面积之和等于最大正方形的面积。
最大正方形边长为7，其面积为 $7^2 = 49$，
因此正方形A,B,C,D的面积之和为49。
最终
答案：直角三角形
解析：
解：
$\because 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，
$\therefore 6^2 + 8^2 = 10^2$，
由勾股定理的逆定理可得，该三角形是直角三角形。
9. 如图，长方体的长、宽、高分别为4,3,12，则$BD_{1}=$
。
答案：解：在底面长方形ABCD中，$∠ BAD=90°$，
由勾股定理得：$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
因此$BD=5$。
因为$DD_1 ⊥$平面ABCD，所以$∠ BDD_1=90°$，
在$Rt△ BDD_1$中，由勾股定理得：
$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，
所以$BD_1=13$。
10. 直角三角形的一条直角边长为11，另两条边均为自然数，则其周长为
.
答案：$\boxed{132}$
解析：
解：设该直角三角形的斜边长为$ c $，另一条直角边长为$ a $，其中$ a,c $均为自然数。
由勾股定理得：
$a^2 + 11^2 = c^2$
移项得：
$c^2 - a^2 = 121$
由平方差公式因式分解得：
$(c - a)(c + a) = 121$
因为121的正整数因数为1、11、121，且$ c ＞ a $，$ c-a $与$ c+a $同奇偶，$ c-a ＜ c+a $，因此仅存在符合条件的正整数解：
$\begin{cases}c - a = 1 \\c + a = 121\end{cases}$
两式相加得$ 2c = 122 $，解得$ c = 61 $，代入得$ a = 60 $。
该直角三角形的周长为$ 11 + 60 + 61 = 132 $。
最终
11. 如果梯子的底端离建筑物9 m，那么15 m长的梯子的顶端到达建筑物底端的高度是
m.
答案：$\boldsymbol{12}$
解析：
解：由题意可知，梯子、建筑物墙面、地面构成直角三角形，梯子为斜边，长度为15 m，梯子底端到建筑物的水平距离为9 m。
设梯子顶端到达建筑物底端的高度为$ h \, \mathrm{m} $，根据勾股定理：
$h^2 + 9^2 = 15^2$
$h^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$
∵ 高度$ h＞0 $，
∴ $ h = 12 $
