【分析】
本题需结合勾股定理解答，解题的核心是注意题干未明确直角边和斜边，需分类讨论避免漏解。首先回忆勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。接下来分两种情况思考：第一种是已知的3和4均为直角边，此时第三边为斜边，可直接计算第三边的平方；第二种是较长的边4为斜边，此时3为直角边，第三边为另一条直角边，可通过斜边平方减去已知直角边的平方得到第三边的平方，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当边长为4的边是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边的平方 = $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
2. 当边长为4的边是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理：
第三边的平方 = $4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$
综上，第三边的平方为7或25，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，很多同学容易默认4为直角边直接计算得25，漏了4作为斜边的情况。解答此类未明确斜边的直角三角形边长问题时，一定要注意分类讨论，全面考虑所有可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先要明确已知条件是三角形三个内角的度数比，我们可以先结合三角形内角和为180°，计算出三个角的具体度数，判断三角形的形状，再结合对应三角形的边的性质判断选项。第一步先根据角度比计算每份的角度，第二步确定最大角的度数判断是否为直角三角形，第三步结合勾股定理验证三边关系即可。
【解析】
设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$。
1. 根据三角形内角和定理可得：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$。
2. 因此三个内角分别为：$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$∠ C=90°$，可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C$为直角，对应斜边为$c$。
3. 根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$a^2+b^2=c^2$。
4. 验证其余选项：含30°角的直角三角形三边比$a:b:c=1:\sqrt{3}:2$，因此A、D的比例错误，B的等量关系也不符合，均排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题是三角形内角和与勾股定理的综合基础题，解题核心是先通过角度比例判定三角形为直角三角形，再结合勾股定理判断三边关系，注意不要混淆特殊直角三角形的三边比例。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先抓住两个核心条件：一是△ABC是锐角三角形，所有内角都是锐角；二是c是最大边，根据三角形“大边对大角”的性质，c对应的内角∠C是三角形最大的角，因此∠C一定是锐角。再对比勾股定理的结论：当∠C为直角时，三边满足$a^2+b^2=c^2$；当∠C为锐角时，c的长度比直角时的斜边更短，因此可得$a^2+b^2＞c^2$，就能选出正确选项。
【解析】
解：1. 根据三角形“大边对大角”的性质，已知c是△ABC的最大边，因此边c对应的内角∠C是△ABC的最大内角。
2. 因为△ABC是锐角三角形，三个内角均为锐角，所以最大的内角∠C也是锐角。
3. 结合勾股定理的延伸结论可知：
若∠C为直角，则$a^2 + b^2 = c^2$；
若∠C为锐角，则$c^2 ＜ a^2 + b^2$，即$a^2 + b^2 ＞ c^2$；
若∠C为钝角，则$c^2 ＞ a^2 + b^2$。
本题中∠C为锐角，因此$a^2 + b^2 ＞ c^2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形边角关系；勾股定理；锐角三角形性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先根据“c为最大边”确定最大内角为∠C，再结合锐角三角形的性质判断∠C为锐角，最后利用勾股定理的延伸结论判断三边关系即可，注意不要混淆锐角和钝角三角形的三边平方关系。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断四个选项的正确性，我们可以结合直角三角形的两个核心性质思考：一是勾股定理，二是面积的两种计算方式。首先用a、b表示出斜边长度，再通过斜边上的高h建立a、b、h之间的等量关系，最后对等式变形就能验证各个选项；也可以用特殊值法，代入常见的勾股数快速排除错误选项。
【解析】
设直角三角形的斜边长为c，
1. 根据勾股定理可得：$\boldsymbol{c^2=a^2+b^2}$；
2. 根据直角三角形面积的两种计算方法：面积等于两条直角边乘积的一半，也等于斜边乘斜边上高的一半，可得：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，化简得$\boldsymbol{ab=ch}$，变形得$c=\frac{ab}{h}$；
3. 将$c=\frac{ab}{h}$代入勾股定理的式子中：
$(\frac{ab}{h})^2=a^2+b^2$
两边同时除以$a^2b^2$得：
$\frac{a^2b^2}{h^2· a^2b^2}=\frac{a^2}{a^2b^2}+\frac{b^2}{a^2b^2}$
化简后可得：$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}$，即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$，因此D选项正确。
也可用特殊值验证：取a=3，b=4，则斜边c=5，斜边上的高$h=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，代入四个选项验证：
A：$ab=12$，$h^2=\frac{144}{25}$，$12≠\frac{144}{25}$，错误；
B：$a^2+b^2=25$，$h^2=\frac{144}{25}$，$25≠\frac{144}{25}$，错误；
C：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{12}$，$\frac{1}{h}=\frac{5}{12}$，$\frac{7}{12}≠\frac{5}{12}$，错误；
D：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{9}+\frac{1}{16}=\frac{25}{144}$，$\frac{1}{h^2}=\frac{25}{144}$，相等，正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等式变形
【点评】
本题考查直角三角形相关性质的应用，解题的关键是利用面积的两种表示方法建立a、b、h之间的联系，既可以通过代数推导得出结论，也可以用特殊值法快速排除错误选项，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
题目给出直角三角形的两条直角边长度，要求斜边长，首先联想到直角三角形特有的勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，我们只需将已知的两条直角边的数值代入勾股定理公式，计算后取正的算术平方根即可得到斜边长。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$ c $，两条直角边分别为$ a=3 $，$ b=4 $。
根据勾股定理可得：
$ c^2 = a^2 + b^2 $
代入数值计算：
$ c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $
由于三角形的边长为正数，因此对$ c^2=25 $开算术平方根得：
$ c = \sqrt{25} = 5 $
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查勾股定理的直接应用，熟记勾股定理的内容即可快速求解，是勾股定理应用的典型入门题。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先明确等腰三角形的腰长为10cm，第三边16cm为底边；根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高会将底边平均分为两段，每段长度为8cm；此时底边上的高、半段底边、腰刚好构成直角三角形，其中腰为斜边，直接用勾股定理即可求出高的长度。
【解析】
解：由题意得，该等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm。
根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高平分底边，
∴底边的一半长度为：$16÷2=8$（cm）
设底边上的高为$h$ cm，在高、半段底边、腰组成的直角三角形中，由勾股定理得：
$h^2 + 8^2 = 10^2$
$h^2 = 100 - 64 = 36$
∵高为正数，
∴$h=\sqrt{36}=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质结合的基础题型，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质构造出直角三角形，再通过勾股定理计算未知线段长度，是几何部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时可结合勾股定理的几何意义思考：直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。我们可以逐层转化面积：先把A、B的面积和转化为二者对应直角三角形斜边的正方形面积，再把C、D的面积和转化为另一组对应直角三角形斜边的正方形面积，最后这两个中间正方形的面积和恰好等于最大正方形的面积，直接计算最大正方形面积即可得到答案，无需单独计算每个小正方形的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义可得：
1. 正方形A、B的面积之和等于二者相邻直角三角形斜边对应的正方形面积，记为$S_1$，即$S_A + S_B = S_1$；
2. 正方形C、D的面积之和等于二者相邻直角三角形斜边对应的正方形面积，记为$S_2$，即$S_C + S_D = S_2$；
3. $S_1$和$S_2$对应的边长是下方大直角三角形的两条直角边，因此$S_1 + S_2$等于最大正方形的面积。
已知最大正方形边长为7，其面积为$7^2 = 49$，因此$S_A + S_B + S_C + S_D = S_1 + S_2 = 49$。
【答案】
$\boldsymbol{49}$
【知识点】
勾股定理的应用；正方形面积计算；转化思想
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型考题，核心考查学生对图形的观察能力和转化思想的运用，通过面积逐层转化的方法可以大幅简化计算，避免求解单个小正方形面积的多余步骤。
【难度系数】
0.7

【分析】
判断已知三边长的三角形形状，可运用勾股定理的逆定理求解：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形为直角三角形。解题时先找到三边中的最长边，再分别计算两条短边的平方和与最长边的平方，对比二者是否相等即可判断形状。
【解析】
首先确定三边长6、8、10中的最长边为10。
计算两条较短边的平方和：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
计算最长边的平方：$10^2 = 100$
由此可得$6^2 + 8^2 = 10^2$，符合勾股定理的逆定理，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形判定
【点评】
本题是基础题型，考查勾股定理逆定理的直接应用，熟练掌握定理内容即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9

【分析】
要求$BD_1$的长度，可分两步思考：第一步，底面ABCD是长方形，内角为直角，可先利用勾股定理计算出底面对角线BD的长度；第二步，长方体的侧棱$DD_1$垂直于底面ABCD，因此$△ BDD_1$是直角三角形，再次使用勾股定理即可求出$BD_1$的长度。
【解析】
在底面长方形ABCD中，$∠ BAD=90°$，
由勾股定理得：$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
因此$BD=5$。
因为$DD_1 ⊥$平面ABCD，所以$∠ BDD_1=90°$，
在$Rt△ BDD_1$中，由勾股定理得：
$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，
所以$BD_1=13$。
【答案】
13
【知识点】
勾股定理；长方体的特征；直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理在立体图形中的典型应用，核心是将立体几何问题转化为平面直角三角形的计算问题，通过两次运用勾股定理即可求解，侧重考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.85

【分析】
本题是直角三角形边长求解问题，已知一条直角边为11，另外两边为自然数，我们可依托勾股定理建立边长关系，再结合整数性质求解。首先设另一条直角边为a，斜边为c（a、c均为正整数，且c＞a），根据勾股定理可得$c^2-a^2=11^2$，将左边用平方差公式因式分解后，结合121的正因数特征，就能列出关于a、c的方程组，求解后即可计算周长。
【解析】
设该直角三角形的另一条直角边长为$a$，斜边长为$c$，其中$a$、$c$均为自然数，且$c＞a$。
根据勾股定理可得：
$c^2 - a^2 = 11^2$
利用平方差公式因式分解左边：
$(c - a)(c + a) = 121$
121的正因数为1、11、121，结合$c+a＞c-a＞0$，且$c+a$与$c-a$的奇偶性相同（两数之和为$2c$是偶数，故两数同奇同偶），121为奇数，因此仅能取：
$\begin{cases} c - a = 1 \\ c + a = 121 \end{cases}$
将两式相加得：$2c=122$，解得$c=61$，代入$c-a=1$得$a=60$。
因此三角形周长为$11+60+61=132$。
【答案】
$\boxed{132}$
【知识点】
勾股定理，平方差公式，因数分解
【点评】
本题综合考查勾股定理与整数性质的结合应用，解题关键是利用平方差公式变形勾股定理的等式，结合正整数的因数特征列出方程组求解，需注意三角形边长为正的隐含条件。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先将实际问题转化为直角三角形模型：梯子、建筑物墙面、地面三者恰好构成直角三角形，其中梯子长度是直角三角形的斜边，梯子底端到建筑物的水平距离、梯子顶端到建筑物底端的竖直高度是两条直角边。已知斜边和其中一条直角边的长度，求另一条直角边，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
设梯子顶端到达建筑物底端的高度为$ h $ m，由题意可知：
梯子、地面、建筑物构成直角三角形，斜边长为梯子长度15m，一条直角边长为梯子底端到建筑物的水平距离9m。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ h^2 + 9^2 = 15^2 $
移项计算：
$ h^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144 $
因为高度为正数，所以$ h = \sqrt{144} = 12 $
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题核心是准确将实际问题抽象为直角三角形数学模型，明确斜边和直角边的对应关系，再代入勾股定理计算，注意最终结果要符合实际意义取正值。
【难度系数】
0.9