19. 阅读理解：
∵ $1^2 ＜ 2 ＜ 2^2$，
∴ $1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，
即$\sqrt{2}$大于1，且$\sqrt{2}$小于2.
又∵ $1.4^2 = 1.96, 1.5^2 = 2.25$，
∴ $\sqrt{2}$介于1.4与1.5之间.
1.4是$\sqrt{2}$的近似值，且它小于$\sqrt{2}$，称1.4为$\sqrt{2}$的不足近似值，1.4和$\sqrt{2}$的误差不超过0.1.
按照上面的方法，求：
(1) $\sqrt{3}$的不足近似值，且误差不超过0.1；
(2) $\sqrt[3]{5}$的不足近似值，且误差不超过0.1.
答案：解：
(1) ∵ $1^2 ＜ 3 ＜ 2^2$，
∴ $1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$。
又∵ $1.7^2 = 2.89$，$1.8^2 = 3.24$，
∴ $1.7 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.8$，
∴ $\sqrt{3}$的误差不超过0.1的不足近似值是1.7。
(2) ∵ $1^3 ＜ 5 ＜ 2^3$，
∴ $1 ＜ \sqrt[3]{5} ＜ 2$。
又∵ $1.7^3 = 4.913$，$1.8^3 = 5.832$，
∴ $1.7 ＜ \sqrt[3]{5} ＜ 1.8$，
∴ $\sqrt[3]{5}$的误差不超过0.1的不足近似值是1.7。
解析：
【分析】
本题要求求无理数的不足近似值且误差不超过0.1，解题可按以下思路进行：①先通过乘方运算确定无理数所在的相邻整数区间；②再计算相邻一位小数的乘方，将无理数的范围缩小到两个相邻的一位小数之间；③根据不足近似值的定义（小于无理数，且和无理数的误差不超过0.1），区间左端点即为所求的不足近似值。其中求$\sqrt{3}$用平方运算缩小区间，求$\sqrt[3]{5}$用立方运算缩小区间即可。
【解析】
(1) 先确定$\sqrt{3}$的整数范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，$1^2 ＜ 3 ＜ 2^2$，
∴ $1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$。
再缩小到精度为0.1的范围：
计算得 $1.7^2 = 2.89$，$1.8^2 = 3.24$，
∴ $1.7 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.8$，
根据不足近似值的定义，$\sqrt{3}$的误差不超过0.1的不足近似值是1.7。
(2) 先确定$\sqrt[3]{5}$的整数范围：
∵ $1^3=1$，$2^3=8$，$1^3 ＜ 5 ＜ 2^3$，
∴ $1 ＜ \sqrt[3]{5} ＜ 2$。
再缩小到精度为0.1的范围：
计算得 $1.7^3 = 4.913$，$1.8^3 = 5.832$，
∴ $1.7 ＜ \sqrt[3]{5} ＜ 1.8$，
根据不足近似值的定义，$\sqrt[3]{5}$的误差不超过0.1的不足近似值是1.7。
【答案】
(1) 1.7；(2) 1.7
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 平方根运算 3. 立方根运算
【点评】
本题属于基础估算类题型，核心是借助乘方运算逐步缩小无理数的取值范围，同时要准确理解不足近似值的定义，解题时注意区分平方根和立方根的运算规则，避免计算出错即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
已知：$a＞0,b＞0,\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，求证：$a＞b$.（用两种方法证明）
答案：证明：
方法一：
因为 $a＞0$，$b＞0$，
所以 $a=(\sqrt{a})^2$，$b=(\sqrt{b})^2$，
则 $a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$。
由 $a＞0,b＞0$ 可得 $\sqrt{a}+\sqrt{b}＞0$，
又已知 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，即 $\sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$，
因此 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})＞0$，即 $a-b＞0$，
所以 $a＞b$。
方法二：
假设 $a ≤ b$，
① 若 $a=b$，则 $\sqrt{a}=\sqrt{b}$，与已知 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$ 矛盾；
② 若 $a＜b$，根据正实数的算术平方根的性质：被开方数越小，对应的算术平方根越小，可得 $\sqrt{a}＜\sqrt{b}$，与已知 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$ 矛盾。
因此假设不成立，故 $a＞b$。
解析：
【分析】
要证明a＞b，可从两种常用证明思路出发思考：
思路1（作差比较法）：要证a＞b，只需证明a-b＞0即可。已知a、b均为正数，可将a、b转化为对应算术平方根的平方形式，借助平方差公式分解a-b的表达式，再结合已知条件判断差的正负，即可完成证明。
思路2（反证法）：先假设结论a＞b不成立，即a≤b，分a=b和a＜b两种情况推导，结合正实数算术平方根的性质推出和已知矛盾的结果，即可说明假设不成立，原结论正确。
【解析】
方法一（作差法）：
∵$a＞0$，$b＞0$，
∴$a=(\sqrt{a})^2$，$b=(\sqrt{b})^2$，
∴$a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$。
∵$a＞0,b＞0$，可得$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞0$，
又已知$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，即$\sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$，
∴$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})＞0$，即$a-b＞0$，
∴$a＞b$。
方法二（反证法）：
假设$a ≤ b$，分两种情况讨论：
① 若$a=b$，则$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，与已知$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$矛盾；
② 若$a＜b$，根据正实数的算术平方根的性质：被开方数越小，对应的算术平方根越小，可得$\sqrt{a}＜\sqrt{b}$，与已知$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$矛盾。
因此假设不成立，故$a＞b$。
【答案】
$a＞b$得证
【知识点】
平方差公式，算术平方根的性质，反证法
【点评】
本题考查不等式的基础证明方法，作差比较法和反证法都是数学证明的常用基础方法，作差法的核心是将差变形为可判断正负的形式，反证法需遵循反设、归谬、得结论的逻辑步骤，需熟练掌握两种方法的应用场景和操作流程。
【难度系数】
0.7
