19. 阅读理解：
∵ $1^2 ＜ 2 ＜ 2^2$，
∴ $1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，
即$\sqrt{2}$大于1，且$\sqrt{2}$小于2.
又∵ $1.4^2 = 1.96, 1.5^2 = 2.25$，
∴ $\sqrt{2}$介于1.4与1.5之间.
1.4是$\sqrt{2}$的近似值，且它小于$\sqrt{2}$，称1.4为$\sqrt{2}$的不足近似值，1.4和$\sqrt{2}$的误差不超过0.1.
按照上面的方法，求：
(1) $\sqrt{3}$的不足近似值，且误差不超过0.1；
(2) $\sqrt[3]{5}$的不足近似值，且误差不超过0.1.
答案：解：
(1) ∵ $1^2 ＜ 3 ＜ 2^2$，
∴ $1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$。
又∵ $1.7^2 = 2.89$，$1.8^2 = 3.24$，
∴ $1.7 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.8$，
∴ $\sqrt{3}$的误差不超过0.1的不足近似值是1.7。
(2) ∵ $1^3 ＜ 5 ＜ 2^3$，
∴ $1 ＜ \sqrt[3]{5} ＜ 2$。
又∵ $1.7^3 = 4.913$，$1.8^3 = 5.832$，
∴ $1.7 ＜ \sqrt[3]{5} ＜ 1.8$，
∴ $\sqrt[3]{5}$的误差不超过0.1的不足近似值是1.7。
已知：$a＞0,b＞0,\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，求证：$a＞b$.（用两种方法证明）
答案：证明：
方法一：
因为 $a＞0$，$b＞0$，
所以 $a=(\sqrt{a})^2$，$b=(\sqrt{b})^2$，
则 $a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$。
由 $a＞0,b＞0$ 可得 $\sqrt{a}+\sqrt{b}＞0$，
又已知 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，即 $\sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$，
因此 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})＞0$，即 $a-b＞0$，
所以 $a＞b$。
方法二：
假设 $a ≤ b$，
① 若 $a=b$，则 $\sqrt{a}=\sqrt{b}$，与已知 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$ 矛盾；
② 若 $a＜b$，根据正实数的算术平方根的性质：被开方数越小，对应的算术平方根越小，可得 $\sqrt{a}＜\sqrt{b}$，与已知 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$ 矛盾。
因此假设不成立，故 $a＞b$。
