17. 填写下表，观察后回答问题.
（1）表格中$x=$
，$y=$
.
（2）探究表格中$a$与$\sqrt{a}$的数位的规律，并利用这个规律解决下列两个问题：
① 已知$\sqrt{10}\approx3.16$，则$\sqrt{1000}\approx$
；
② 已知$\sqrt{3.24}=1.8$，若$\sqrt{a}=180$，则$a=$
.
（3）拓展：已知$\sqrt[3]{12}\approx2.289$，若$\sqrt[3]{m}=0.2289$，则$m$是多少？
答案：解：
(1) $x=\sqrt{0.01}=0.1$，$y=\sqrt{100}=10$。
答案：$0.1$，$10$。
(2) 规律：被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点相应地向右（或向左）移动1位。
① $\sqrt{1000}=\sqrt{10×100}=10\sqrt{10}\approx10×3.16=31.6$；
② 由$\sqrt{a}=180=1.8×100$，可得$a=3.24×10000=32400$。
答案：$31.6$，$32400$。
(3) 立方根的变化规律：立方根的小数点向左（或向右）移动1位，对应的被开方数的小数点相应地向左（或向右）移动3位。
$\because \sqrt[3]{12}\approx2.289$，$\sqrt[3]{m}=0.2289$，2.289的小数点向左移动1位得到0.2289，
$\therefore 12$的小数点向左移动3位得到$m$，即$m=0.012$。
答：$m$是$0.012$。
解析：
【分析】
（1）根据算术平方根的定义，直接计算0.01和100的算术平方根即可得到x、y的值；
（2）先观察表格中被开方数a的小数点移动位数和对应算术平方根√a的小数点移动位数，总结出规律：被开方数的小数点每向右/向左移动2位，算术平方根的小数点同向移动1位。再套用规律解题：①√10≈3.16，1000是10的小数点右移2位，所以√1000的结果是3.16右移1位；②√3.24=1.8，现在算术平方根是180，是1.8右移2位，所以被开方数a是3.24右移4位；
（3）类比算术平方根的规律推导立方根的规律：立方根的小数点每向右/向左移动1位，对应被开方数的小数点同向移动3位。已知$\sqrt[3]{12}$≈2.289，现在立方根0.2289是2.289左移1位，所以被开方数m是12左移3位。
【解析】
(1) 由算术平方根的定义可得：
$x=\sqrt{0.01}=0.1$，$y=\sqrt{100}=10$；
(2) 总结规律：被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点相应地向右（或向左）移动1位。
① $\sqrt{1000}=\sqrt{10×100}=10\sqrt{10}\approx10×3.16=31.6$；
② 已知$\sqrt{3.24}=1.8$，$\sqrt{a}=180=1.8×100$，算术平方根的小数点向右移动了2位，所以被开方数的小数点向右移动4位，得$a=3.24×10000=32400$；
(3) 立方根的变化规律：立方根的小数点向左（或向右）移动1位，对应的被开方数的小数点相应地向左（或向右）移动3位。
$\because \sqrt[3]{12}\approx2.289$，$\sqrt[3]{m}=0.2289$，2.289的小数点向左移动1位得到0.2289，
$\therefore$ 被开方数12的小数点向左移动3位得到$m$，即$m=0.012$。
【答案】
(1) $0.1$，$10$；
(2) ① $31.6$；② $32400$；
(3) $0.012$
【知识点】
算术平方根的定义，平方根的变化规律，立方根的变化规律
【点评】
本题以表格探究的形式考查平方根、立方根的小数点移动规律，既考查了基础的开方运算能力，又要求学生具备归纳总结规律、迁移应用规律的能力，是根式性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.75
18. 已知$a＞0,b＞0,a^3=9,b^2=5$,试比较$a,b$的大小,并说明理由.
答案：解：
∵ $a＞0,b＞0$，
∴ 分别对$a$、$b$作6次乘方运算：
$a^6=(a^3)^2=9^2=81$，
$b^6=(b^2)^3=5^3=125$，
∵ $81＜125$，即 $a^6 ＜ b^6$，
又∵ 两个正数，若同正整数次幂的结果更小，则对应的底数更小，
∴ $a ＜ b$。
解析：
【分析】
要比较正数a、b的大小，已知a³、b²的值，直接计算a、b的近似值容易产生误差，我们可以利用幂的乘方性质，将两个数的指数统一为相同的正整数：因为3和2的最小公倍数是6，所以分别计算a⁶和b⁶的值，再根据“两个正数，相同正整数次幂的值越大，对应的底数越大”的规律，即可判断a、b的大小。
【解析】
∵ $a＞0,b＞0$，
利用幂的乘方公式$(x^m)^n=x^{mn}$，分别计算$a$、$b$的6次幂：
$a^6=(a^3)^2=9^2=81$，
$b^6=(b^2)^3=5^3=125$，
∵ $81＜125$，即 $a^6 ＜ b^6$，
又
∵ 两个正数，相同正整数次幂的结果越大，对应的底数越大，
∴ $a ＜ b$。
【答案】
$a ＜ b$
【知识点】
幂的乘方运算；正实数大小比较
【点评】
本题考查利用幂的运算性质比较数的大小，解题的核心是将两个待比较的数转化为同指数的幂，避免了开方运算的繁琐，是比较含乘方的正实数大小的常用技巧。
【难度系数】
0.7
